8 бит
8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
8 бит
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит

Теория вероятностей ЕГЭ

Дополнительные темы
Демоверсия ЕГЭ по математике 2024 года профиль и база Задачи на сплавы и смеси – ЕГЭ по математике Задание 8 ЕГЭ по математике профильный уровень 10 задание ЕГЭ по математике профиль Задание 11 ЕГЭ по профильной математике 8 задание ЕГЭ по математике Действия со степенями в ЕГЭ по математике Адиабатический процесс в ЕГЭ по математике Геометрическая прогрессия на ЕГЭ по математике Задачи прикладного содержания ЕГЭ по математике Показательные уравнения ЕГЭ по математике Логарифмические уравнения ЕГЭ математика профиль Кубические уравнения ЕГЭ по математике Квадратные уравнения – ЕГЭ по математике 2024 Линейные уравнения – ЕГЭ по математике Теория вероятностей ЕГЭ 5 задание ЕГЭ по математике 2024 года: задания на теорию вероятности 4 задание ЕГЭ по математике 2024 года: теория вероятности 2 задание ЕГЭ по математике 2024 года — стереометрия Разбор 1 задания на ЕГЭ по математике 2024 года: решение задачи по геометрии, планиметрии Изменения в ЕГЭ по математике в 2024 году Как подготовиться к ЕГЭ по математике 2024 года Решение 16 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Задачи на вклады и о кредитах Решение 15 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Показательные функции Решение 14 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Стереометрия – теория и практика Решение 13 задания ЕГЭ по математике 2024 Решение 12 задания ЕГЭ по математике 2024. Производная и первообразная Структура ЕГЭ по математике в 2023 году Задание 8 ЕГЭ по математике 2024 Задание 7 ЕГЭ по математике 2024 6 Задание ЕГЭ по математике

Что такое теория вероятности из ЕГЭ по математике?

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий случайные события и величины, а также их свойства и различные арифметические операции над ними. Вероятность показывает количественную оценку возможности наступления некоторого события.

Классическое определение вероятности – подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

По сути, все задачи первой группы из ЕГЭ по теории вероятности являются чем-то вроде: «В ящике лежит 4 шара, один из них черный. Какова вероятность с первого раза случайно вытащить черный шар?». То есть вероятность события есть отношение благоприятного числа исходов к общему числу исходов.

Посмотрим, как решаются задания 1–11 из практикума.

В 4 номере число благоприятных исходов подсчитывается перебором, а случаи 3–5 и 5–3 (кол-во очков на костях) — исходы разные, и считать их нужно отдельно. Общее же число исходов быстрее посчитать не перебором, а 6*6 — на каждый из 6 вариантов на первой кости приходится по 6 вариантов на второй. Вещи это довольно простые, но обсудить их хотя бы один раз стоит.

Приступая к 11 задаче, стоит иметь в виду, что иногда условие задачи можно переформулировать более наглядным для себя образом, если суть происходящего не меняется. Эту же самую задачу можно представить так:

«Пусть за круглый стол с 9 стульями садятся 2 девочки. Мальчиков нет вообще. Сначала заходит одна девочка и садится на произвольное место. Потом заходит вторая и садится на произвольное место из свободных. Какова вероятность, что она сядет рядом?».

При такой формулировке любой ученик сможет посчитать, что осталось свободных 8 мест, только 2 из них подходящие — рядом с первой девочкой, и разделить 2 на 8.

Были ли мальчики, или нет, заходили девочки одновременно, или по очереди, и если по очереди, то место, куда села первая девочка — это всё не имеет значения. Важно лишь то, что было 9 мест и 2 девочки. Иногда такой подход, подобное «переформулирование» задачи заметно упрощает процесс умозрительного представления и решения.

Достаточно распространен немного более усложненный вариант этой же задачи. «Есть 4 комнаты по 4 стула в каждой, 16 человек рассаживают по стульям, какова вероятность двум близнецам оказаться в одной комнате?» Аналогично, представляем, что человек не 16, а всего 2 — наши близнецы, и мы запускаем их по очереди. Первый садится куда-то, куда — не важно. Важно то, что, когда второй пойдет садиться на какой-то стул, «подходящих» стульев будет 3 (в комнате с первым близнецом), а всего свободных — 15.

«Хотя бы один из»

Номер 17 — задача, в которой надо найти вероятность того, что «хотя бы одно из…» Задачи с такой постановкой условия решаются двумя способами:

  1. Решение с помощью формулы теоремы 2, решение «в лоб» – оправдывает себя только в случае двух событий.
  2. Решение через противоположное событие – незаменимо в случае трех и более событий; не подходит, если события несовместны или зависимы.

Давайте пойдем методом от противного и возьмем обратное утверждение к «хотя бы одна лампа не перегорит». Неправильно – «хотя бы одна лампа перегорит», но правильно – «перегорят все». То есть перегорит первая, и вторая, и третья, если бы она была по условию задачи — а это уже произведение событий, притом обратных.

Итак, P (A + B + C) = 1 – P (Ā * Ḃ * Ć)  — формула, справедливая для любого (можно и больше трех) числа событий. Не обязательно знать формулу, важно понимать сам принцип, который формула отображает.

На примере номера 16 разбираем оба способа решения. Оба способа очень важны, так как в случае несовместных или зависимых событий второй способ не действителен.

8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
Онлайн подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2025 с выгодой до 30%

Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам

Узнать подробнее
8 бит 8 бит

Теория вероятности ЕГЭ решения задач: теоремы о вероятностях

Введем немного терминологии:

  • События независимы, если наступление одного их них не изменяет вероятность наступления другого. Интуитивно знакомое понятие и без математической строгости.
  • События совместны, если (здесь скажем простым языком) они могут произойти оба, одновременно. Например, падение двух монет орлом вверх — совместные события. Но падение одной монеты орлом вверх и орлом вниз — события, очевидно, несовместные.

События называются противоположными, если они несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Простым языком: если событие А — «кое-что произошло», то  Ā — то же самое не произошло. P (Ā) = 1 – P (A).

Произведением событий А и В называется событие АВ, заключающееся в том, что произошли оба события одновременно: и А, и В.

Теорема 1: если события А и В независимы и совместны, то P (AB) = P(A) * P(B)

То есть, вероятность произведения есть произведение вероятностей.

Суммой событий А и В называется событие А+В, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В.

Теорема 2: вероятность суммы событий есть сумма вероятностей за вычетом вероятности из произведения P (A+B) = P(A) + P (B) – P (AB).

Для несовместных событий, очевидно, P (AB) = 0. Случаи, когда события совместны, но зависимы, бывают в задании 4 крайне редко, и в подобных номерах недостающая информация, как правило, известна из условия.

За исключением еще одного момента, это, в принципе, вся теория, которую необходимо знать, но её надо знать четко, так как она требуется в каждой второй задаче задания 4.

Теория вероятности ЕГЭ 2024 – дерево событий

Рассмотрим на примере. Случайно выбранное стекло (на рынке) может оказаться продукцией первой фабрики (45%), или второй (55%) с определенной вероятностью быть бракованным в первом и во втором случае. Условие можно представить в виде схемы («дерева»), включающей в себя все возможные исходы.

Теория вероятностей ЕГЭ

Нарисовав такую схему, легко считать конечные вероятности. Если спрашивается вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным, то нам «подходят» два конечных исхода:

  1. Стекло произведено на первой фабрике и браковано, вероятность такого исхода 0,45 * 0,03 = 0,0135;
  2. Стекло произведено на второй фабрике и браковано, вероятность 0,55 * 0,01 = 0,0055.

Значит, стекло окажется бракованным с вероятностью 0,019.

События «случайное стекло произведено на первой фабрике» и «случайное стекло, произведенное на первой фабрике, браковано» — совместны и независимы, поэтому их вероятности мы перемножили для того, чтобы найти вероятность события «стекло будет произведено на первой фабрике и окажется бракованным». А вот конечные исходы мы просто сложили, так как события, очевидно, несовместны (стекло произведено только на какой-то одной фабрике) и подходят нам оба, т.е. случай «хотя бы один из».

Важные уточнения к решению задач ЕГЭ на теорию вероятности

Во-первых, метод хорошо работает и в случае постановки условия «наоборот», когда, скажем, была бы известна вероятность приобрести в магазине бракованное стекло, но не было бы известно, как много производят первая и вторая фабрика (в процентном соотношении). Тогда вместо 45% и 55% на нашей схеме были бы неизвестные  и , через которые мы бы выразили известную вероятность брака случайного стекла.

Во-вторых, к подобной задаче можно рисовать, как правило, не одну блок-схему. Ниже приведен пример того, как иначе, неправильно, можно было бы изобразить условие номера 27.

В этом варианте, казалось бы, тоже перебраны все конечные исходы, но для такой блок-схемы у нас нет данных: условие сформулировано таким образом, что вероятности мы можем выписать именно для первой блок-схемы.

Иногда не совсем очевидно, как именно рисовать блок-схему, поэтому вот вам универсальный совет: если вы нарисовали схему и видите, что ваше условие, ваши вероятности к ней не подходят — просто нарисуйте ее иным способом. Существует как минимум два способа изображения условия.

Примеры задач и решения ЕГЭ по теории вероятности

Теория вероятности ЕГЭ задания 4 и 5 можно условно разделить на 2 группы:

  1. Задачи, базирующиеся на самом определении вероятности;
  2. Задачи, требующие знаний об операциях сложения и умножения вероятностей.

Классическое определение вероятности

Задача 1

На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Ответ: 0,95

Задача 2

В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Ответ: 0,6

Теоремы на сложение и умножение вероятностей

Задача 1

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Ответ: 0,9604

Задача 2

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,99

Ответы на часто задаваемые вопросы

Основные формулы теории вероятности.
P (A + B + C) = 1 – P (Ā * Ḃ * Ć) — формула, справедливая для любого (можно и больше трех) числа событий. Вероятность суммы событий есть сумма вероятностей за вычетом вероятности из произведения P (A+B) = P(A) + P (B) – P (AB). Для несовместных событий, очевидно, P (AB) = 0.
Что такое теория вероятности?
Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями.
Как решать задачи по теории вероятности?
Подробная пошаговая инструкция к решению задач с примерами представлена в этой статье в разделе Дерево событий.
Все статьи
Читайте также
4 задание ЕГЭ по математике 2023 года
5 задание ЕГЭ по математике 2024 года: задания на теорию вероятности

5 задание ЕГЭ по математике профильного уровня посвящено теории вероятности. Здесь понадобится не только основная формула P = m / n, но и умение работать с деревом вариантов (вероятностей). 5…

Как подготовиться к ЕГЭ по математике
Как подготовиться к ЕГЭ по математике 2024 года

Как правило, ЕГЭ по математике — один из самых сложных для школьников экзаменов, а “профиль” — это тот самый Босс, который валит даже заядлых технарей на пути в топовые ВУЗы….