8 бит
8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
8 бит
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит
Логарифмические уравнения ЕГЭ математика профиль

Логарифмические уравнения ЕГЭ математика профиль

Дополнительные темы
Демоверсия ЕГЭ по математике 2024 года профиль и база Задачи на сплавы и смеси – ЕГЭ по математике Задание 8 ЕГЭ по математике профильный уровень 10 задание ЕГЭ по математике профиль Задание 11 ЕГЭ по профильной математике 8 задание ЕГЭ по математике Действия со степенями в ЕГЭ по математике Адиабатический процесс в ЕГЭ по математике Геометрическая прогрессия на ЕГЭ по математике Задачи прикладного содержания ЕГЭ по математике Показательные уравнения ЕГЭ по математике Логарифмические уравнения ЕГЭ математика профиль Кубические уравнения ЕГЭ по математике Квадратные уравнения – ЕГЭ по математике 2024 Линейные уравнения – ЕГЭ по математике Теория вероятностей ЕГЭ 5 задание ЕГЭ по математике 2024 года: задания на теорию вероятности 4 задание ЕГЭ по математике 2024 года: теория вероятности 2 задание ЕГЭ по математике 2024 года — стереометрия Разбор 1 задания на ЕГЭ по математике 2024 года: решение задачи по геометрии, планиметрии Изменения в ЕГЭ по математике в 2024 году Как подготовиться к ЕГЭ по математике 2024 года Решение 16 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Задачи на вклады и о кредитах Решение 15 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Показательные функции Решение 14 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Стереометрия – теория и практика Решение 13 задания ЕГЭ по математике 2024 Решение 12 задания ЕГЭ по математике 2024. Производная и первообразная Структура ЕГЭ по математике в 2023 году Задание 8 ЕГЭ по математике 2024 Задание 7 ЕГЭ по математике 2024 6 Задание ЕГЭ по математике

Коротко о том, что такое логарифмические уравнения ЕГЭ

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифм — это степень. Более половины простейших логарифмических уравнений и заданий с логарифмами в ЕГЭ решаются логически с помощью одного лишь определения логарифма, поэтому его надо знать идеально.

Логарифмические уравнения ЕГЭ 2024 – базовые знания о логарифмах

Итак, наверное, каждый уже решал уравнения типа 2x = 8, где в обеих частях уравнения получаем одинаковые основания и приравниваем степени. Но что делать, если получить одинаковые основания с удобными степенями нельзя, как, например, если 2x = 7 или 2x = 11? Ведь уравнения, описывающие реальный мир, совершенно не обязательно будут иметь красивые и удобные решения. Хотелось бы иметь возможность как-то выразить решение такого уравнения, такое число, математическим языком.

Как это сделать? С помощью следующей записи: допустим, если 2x = 7, то пишут, что x=log27 ― эта запись дословно означает, что икс равен степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 7. Называется эта штука логарифмом, и произносят такую запись следующим образом: логарифм семи по основанию двух. Соответственно, если 3x = 5, то x=log35 ― икс равен степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 5.

Переходим к общему случаю: если у нас есть уравнение ax = b, то икс будет равен:

x=logab

Важно: logab — это степень, в которую надо возвести a, чтобы получить b (аргумент логарифма).

В силу ограничений показательной функции, в которой для нашего примера a>0, b>0, у логарифма сохраняются такие же ограничения: основание логарифма а и аргумент логарифма b должны быть положительны! Но логарифм более коварный, у него появляется одно дополнительное ограничение a≠1.

Логарифм — всего лишь обозначение. Это не новый объект, как синус или производная, а просто новое обозначение. Представьте, что нам нужно найти сумму степени, в которую надо возвести 10, чтобы получить 8, и степени, в которую надо возвести 10, чтобы получить 125. Представить это в голове достаточно сложно, но с помощью логарифмов это решается очень просто, в два действия. Немного практики – и вы этому научитесь.

Решение логарифмических уравнений ЕГЭ по математике

Пример 1

Найдите значение выражения (log2 16)*(log6 36)

Этот номер решается чисто из определения логарифма.

Выполним преобразования:

(log2 16)*(log6 36)=4*2=8

Ответ: 8.

Попробуй самостоятельно решить еще несколько примеров:

  • Найдите значение выражения: (log5 125)*(log4 16) (Ответ: 6)
  • Найдите значение выражения: (log9 81)*(log2 64) (Ответ: 12)
  • Найдите значение выражения: (log3 9)*(log7 49)(Ответ: 4)

Приступим к следующей серии примеров. Итак, у нас есть loga b – степень, в которую надо возвести a, чтобы получить b. То есть если возвести a в степень loga b, получим, что:

    \[a^{log_{a}b}=b\]

Данная формула называется основным логарифмическим тождеством.

Теперь можно приступить к решению следующих примеров:

  • Найдите значение выражения: 7*5log54. (Ответ: 28)
  • Найдите значение выражения: 36*5log65. (Ответ: 25)
  • Найдите значение выражения: 4*(log411)+1. (Ответ: 44)

Решение логарифмических уравнений ЕГЭ профиль – как складывать логарифмы

Возьмем в качестве примера логарифм log24 + log28. Первое слагаемое равно 2, второе – 3, сумма равна 5. При этом 5 можно представить как логарифм 32 по основанию 2. Выходит, log24 + log28 = 5 = log232.

Как связаны 4, 8 и 32? Если умножить 4 на 8, получается 32. Выходит, если сложить два логарифма с одинаковым основанием, получается логарифм того же основания от выражения, равного произведению чисел под начальными логарифмами:

    \[log_{3}9+log_{3}27=log_{3}243\]

    \[log_{4}64+log_{4}\frac{1}{4}=log_{4}16\]

В общем виде:

    \[log_{a}b+log_{a}c=log_{a}bc\]

Помнишь, что происходит со степенями при перемножении чисел с одинаковыми основаниями? Они складываются. Логарифм — это степень, и, как видишь, здесь сложение степеней происходит также в случае перемножения чисел.

Аналогично с формулой разности логарифмов:

    \[log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\frac{b}{c}\]

Настало время закрепить и порешать примеры:

  • Найдите значение выражения: log6270 -log67,5. (Ответ: 2)
  • Найдите значение выражения: log654 -log61,5. (Ответ: 2)
  • Найдите значение выражения: log432 -log40,5. (Ответ: 3)

Как мы уже выяснили, складывая два логарифма, мы получаем логарифм произведения. Давай сложим два одинаковых логарифма:

    \[log_{a}b+log_{a}b=log_{a}b*b=log_{a}b^{2}\]

Если мы сложим, скажем, 5 одинаковых логарифмов, то

    \[5log_{a}b=log_{a}b+log_{a}b+log_{a}b+log_{a}b+log_{a}b=log_{a}b*b*b*b*b=log_{a}b^{5}\]

Получаем, что, складывая n одинаковых логарифмов, будет

    \[n*log_{a}b=log_{a}b^{n}\]

В качестве закрепления реши следующие примеры:

  • Найдите значение выражения: log0,25 8. Ответ: –1,5.
  • Найдите значение выражения: log0,1 0,01. Ответ: 2.
  • Найдите значение выражения: log8 512. Ответ: 3.

И последнее, что следует запомнить для решения логарифмических уравнений на профильный уровень ЕГЭ, – это формулу перехода к новому основанию:

как решать логарифмические уравнения егэ

И его частный случай:

логарифмические уравнения егэ профиль

8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
Подготовьтесь к ЕГЭ или ОГЭ за 4 месяца

Интенсивный онлайн курс в Годографе с экспертами МЦКО

Узнать подробнее
8 бит 8 бит

Ответы на часто задаваемые вопросы

Что представляют собой логарифмические уравнения?
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Как сложить логарифмические уравнения в 10 классе?
Складывая два логарифма, мы получаем логарифм произведения.
Все статьи
Читайте также
5 Задание ЕГЭ по математике
6 Задание ЕГЭ по математике

Как решать линейные и квадратные уравнения? Чтобы правильно решать линейные уравнения, нужно помнить два простых правила: правило переноса (при переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой…

Задачи на сплавы и смеси – ЕГЭ по математике

Краткий ответ, как решать задачи на сплавы и смеси В условиях задач на процентные доли в смесях смешиваются растворы (сплавы) с разными массами и концентрациями некоторого вещества, формируя раствор общей…