Кубические уравнения ЕГЭ по математике
Кубические уравнения ЕГЭ: что это такое и в каких номерах встречаются
Кубическим уравнением считается такое уравнение, в котором неизвестная находится в третьей степени. В ЕГЭ по математике профиль простейшие кубические уравнения встречаются в 1 задании, более сложные в 13.
Решение линейных, квадратных, кубических уравнений из ЕГЭ
Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.
Пример
Решить уравнение: (x−3)3 = 27
Решение
- Представим обе части как основания в третьей степени: (x−3)3 = 33
- Извлечем кубический корень из обеих частей: х−3 = 3
- Соберем известные слагаемые в правой части: x = 6
Ответ: х = 6.
Как решать более сложные кубические уравнения?
Метод разбиения кубического уравнения на множители часто себя не оправдывает: кому-то он дается с большим трудом, а с некоторыми коэффициентами разбить на множители становится вообще не очень простой задачей.
Попробуем решить с помощью угадывания одного из трех корней. Если у кубического уравнения «нормальные» корни, то есть хотя бы рациональные, то метод поиска одного из корней дает результат не хуже, чем метод разбиения на множители. Если же корнями являются иррациональные числа, то оба метода не приведут к ответу.
Пусть у нас есть кубическое уравнение общего вида: ax3 + bx2 + cx +d = 0. Если некоторое рациональное число x вида x = p/q (p, q — целые числа) является корнем уравнения, то число p должно быть одним из делителей (с учетом ±) числа d, а число q будет делителем a. Так мы простым перебором находим один из корней.
Теперь возвращаемся к тому, что обсуждали на примере квадратных уравнений: если число x1 — корень уравнения, то выражение x – x1 можно выделить из уравнения в качестве множителя. Это можно сделать, опять-таки, разложением на множители (только теперь мы уже знаем один множитель, и разбиение становится более простой задачей). Но более строгим и верным способом является деление многочлена на x – x1 «в столбик».
Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам
Узнать подробнееПримеры кубических уравнений из ЕГЭ
Задание 1
Найдите корень уравнения: (x – 3)3 = 343
Ответ: 10
Задание 2
Найдите корень уравнения: (x – 5)3 = 64
Ответ: 9
Задание 3
Найдите корень уравнения: (x + 5)3 = 216
Ответ: 1
Задание 4
Найдите корень уравнения: (x – 3)3 = –512
Ответ: -5
Ответы на часто задаваемые вопросы
Что нужно делать в задании 8 ЕГЭ по профильной математике? В задании 8 нужно уметь читать графики функций, искать производную и определять количество целых точек при ее положительном или отрицательном…
Основные действия со степенями Чаще всего в ЕГЭ по математике встречаются примеры на умножение и деление степеней. В первом случае степени складываются, во втором – вычитаются. Более сложные формулы мы…