Геометрическая прогрессия на ЕГЭ по математике
В какой части ЕГЭ встречаются задачи на прогрессии и насколько сложно их решать?
Задачи на прогрессии – наиболее простой и наименее объемный тип задач блока заданий 10. Они делятся на два подтипа по характеру прогрессии: арифметической и геометрической. Задачи второго подтипа не требуют никаких знаний, кроме представления о геометрической прогрессии. Для решения же первого подтипа нужно знание пары элементарных формул и умения с ними работать.
Задачи на арифметические прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность (или ряд) чисел, где между соседними числами одинаковая разница.
При этом числа должны либо только расти, либо только уменьшаться. Вот несколько простейших примеров:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 7 10 13 16 19
5 3 1 -1 –3 –5 –7
В общем виде арифметическая прогрессия обозначается обычно вот так:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10….
Если, скажем, у нас есть такая прогрессия: 2 5 8 11 …, то здесь a1 = 2 и a2 = 5, a3 = 8, a4 = 11 так далее.
Элемент, стоящий в арифметической прогрессии под номером n, обозначают соответственно an.
Как решать задачи на арифметическую прогрессию ЕГЭ
Для решения всех номеров данного подтипа необходимо знать три формулы: представления n-ного элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях:
Как уже говорили, каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.
Скажите, чему равна разность в следующей арифметической прогрессии: 12 17 22 27?
Получается a2 =a1 + d. Точно так же a3 =a2 + d, a4 =a3 + d
А на сколько отличаются элементы, стоящие через один? Например a3 и a1?
Верно, на две разности, a3 =a1 + 2d. Давайте продолжим для остальных элементов:
Видите закономерность? Для того чтобы, скажем, получить 8й элемент последовательности, нужно к первому прибавить 7 разностей, чтобы получить 15й элемент, нужно прибавить 14 разностей.
Иначе говоря, если мы знаем первый элемент последовательности и разность d, мы можем посчитать элемент под любым номером. Для того чтобы получить элемент под номером n, нужно прибавить (спрашиваем ответ) … да, n-1 разностей:
an =a1 + (n-1)d — первая формула, которую нужно записать и выучить.
В конце концов, доля задач на арифметическую прогрессию из всех задач задания 8 невелика, а за полгода подобные формулы без постоянной практики легко забываются.
Аналогично можно «обосновать» формулу суммы прогрессии.Например, есть следующая прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Если я попрошу вас найти сумму первых трех элементов, вам нужно сложить 3 + 5 + 7. Если надо найти сумму первых 6 элементов, соответственно 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13. Обозначается сумма прогрессии буквой S:
S3 = 3+5+7, S4 = 3+5+7+9, S6 = 3+5+7+9+11+13 — число внизу означает число первых элементов, которые мы суммируем.
Давайте теперь получим формулу, по которой можно рассчитывать сумму первых n элементов в зависимости от n. Попробуем на примере прогрессии, которую мы знаем. Скажем, нужно узнать сумму первых 9 элементов такой прогрессии:
1 2 3 4 5 6 7 8 9, S9 – ?
Можно просто «руками» сложить все 9 чисел и получить ответ. Но если мы работаем с очень большой прогрессией (скажем, больше 100 элементов), это очень долгий способ.
Заметьте вот такую штуку: 1 + 9=10, 2 + 8=10 тоже, как и 3 + 7. Складывая 1е число слева и 1е справа, мы получаем такую же сумму, как и складывая, скажем, 4е число слева и справа. В сумме они равны 10, в среднем (если разделить такую пару пополам) 5. Единственное число, которое не с чем складывать — это 5, но оно как раз равно среднему!
Выходит, у арифметической прогрессии есть некоторое «среднее число», которое в этой прогрессии равно 5. И если мы сложим 9 чисел прогрессии, мы получим то же самое, как если мы сложим 9 пятерок, проще говоря, умножим 9 на 5. Так мы тоже получим сумму прогрессии.
Вывод: для того, чтобы посчитать сумму прогрессии, нужно среднее число прогрессии умножить на число элементов.
Запишем это в общем виде. Если у нас есть последовательность a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8…. и нам нужно найти сумму первых n элементов, то есть Sn, то нужно найти среднее между 1м и n-м элементами и умножить на n:
Это вторая формула, которую вам следует знать.
Теперь, если подставить первую полученную формулу во вторую, мы получим третью формулу:
Эти три формулы нужно знать или научиться получать, чтобы решать задачи на прогрессию в ЕГЭ по профильной математике.
Задачи на геометрические прогрессии – теория
Начнем, как обычно, с самых азов, проведя параллели между прогрессиями.
Допустим, у нас есть числовая последовательность: 3, 6, 9, 12, 15.
Вы сразу же ответите, что это арифметическая последовательность с разностью прогрессии d=3. А что вы тогда можете сказать насчет такого набора: 1, 10, 100, 1000, 10000.
Если вы будете вычитать из последующего числа предыдущее, то увидите, что каждый раз получается новая разница (9;90;900 и т.д.). Но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в 10 раз больше предыдущего! Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается bn.
Геометрическая прогрессия bn — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Повторим: q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии. Оно может быть положительным и отрицательным, но не нулем.
Допустим, q у нас положительное. Пусть в нашем случае q=3, а b1 =4.
Чему равен второй член b2 и b3? Несложно заметить, что: b2=4*3=12, b3=12*3=36
Все верно. Соответственно, если q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.
А что если q отрицательное? Например, q=−3, а b1=4. Чему равен второй член b2 = и b3 =?
b2=4*(-3)=-12, b3=(-12)*(-3)=36
Таким образом, если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.
То есть, если вы видите прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на 100% отрицательный.
Перейдем снова к теоретической части. Если в геометрической прогрессии вы знаете первый член и знаменатель, то вы можете найти любой член прогрессии по формуле:
Также запишем формулы, которые нам также могут пригодиться для решения данных задач.
Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам
Узнать подробнееПримеры задач на арифметическую прогрессию
Задание 1
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день
в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Ответ: 8
Задание 2
Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Ответ: 97
Задание 3
Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
Ответ: 57
Примеры задач на геометрическую прогрессию
Задание 1
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Ответ: 320 000
Задание 2
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль
в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Ответ: 50 000
Ответы на часто задаваемые вопросы
Коротко о том, что такое логарифмические уравнения ЕГЭ Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифм — это степень. Более половины простейших логарифмических…
Что такое теория вероятности из ЕГЭ по математике? Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий случайные события и величины, а также их свойства и различные арифметические операции над ними. Вероятность…