8 бит
8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
8 бит
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит
Геометрическая прогрессия на ЕГЭ по математике

Геометрическая прогрессия на ЕГЭ по математике

Дополнительные темы
Демоверсия ЕГЭ по математике 2024 года профиль и база Задачи на сплавы и смеси – ЕГЭ по математике Задание 8 ЕГЭ по математике профильный уровень 10 задание ЕГЭ по математике профиль Задание 11 ЕГЭ по профильной математике 8 задание ЕГЭ по математике Действия со степенями в ЕГЭ по математике Адиабатический процесс в ЕГЭ по математике Геометрическая прогрессия на ЕГЭ по математике Задачи прикладного содержания ЕГЭ по математике Показательные уравнения ЕГЭ по математике Логарифмические уравнения ЕГЭ математика профиль Кубические уравнения ЕГЭ по математике Квадратные уравнения – ЕГЭ по математике 2024 Линейные уравнения – ЕГЭ по математике Теория вероятностей ЕГЭ 5 задание ЕГЭ по математике 2024 года: задания на теорию вероятности 4 задание ЕГЭ по математике 2024 года: теория вероятности 2 задание ЕГЭ по математике 2024 года — стереометрия Разбор 1 задания на ЕГЭ по математике 2024 года: решение задачи по геометрии, планиметрии Изменения в ЕГЭ по математике в 2024 году Как подготовиться к ЕГЭ по математике 2024 года Решение 16 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Задачи на вклады и о кредитах Решение 15 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Показательные функции Решение 14 задания ЕГЭ по математике 2024 года. Стереометрия – теория и практика Решение 13 задания ЕГЭ по математике 2024 Решение 12 задания ЕГЭ по математике 2024. Производная и первообразная Структура ЕГЭ по математике в 2023 году Задание 8 ЕГЭ по математике 2024 Задание 7 ЕГЭ по математике 2024 6 Задание ЕГЭ по математике

В какой части ЕГЭ встречаются задачи на прогрессии и насколько сложно их решать?

Задачи на прогрессии – наиболее простой и наименее объемный тип задач блока заданий 10. Они делятся на два подтипа по характеру прогрессии: арифметической и геометрической. Задачи второго подтипа не требуют никаких знаний, кроме представления о геометрической прогрессии. Для решения же первого подтипа нужно знание пары элементарных формул и умения с ними работать.

Задачи на арифметические прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность (или ряд) чисел, где между соседними числами одинаковая разница.

При этом числа должны либо только расти, либо только уменьшаться. Вот несколько простейших примеров:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 7 10 13 16 19

5 3 1 -1 –3 –5 –7

В общем виде арифметическая прогрессия обозначается обычно вот так:

a1 aa3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10….

Если, скажем, у нас есть такая прогрессия: 2 5 8 11 …, то здесь a1 = 2 и a2 = 5, a3 = 8, a4 = 11 так далее.

Элемент, стоящий в арифметической прогрессии под номером n, обозначают соответственно an.

Как решать задачи на арифметическую прогрессию ЕГЭ

Для решения всех номеров данного подтипа необходимо знать три формулы: представления n-ного элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях:

задачи на арифметическую прогрессию ЕГЭ

Как уже говорили, каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.

Скажите, чему равна разность в следующей арифметической прогрессии: 12 17 22 27?

Получается a2 =a1 + d. Точно так же a3 =a2 + d, a4 =a3 + d

А на сколько отличаются элементы, стоящие через один? Например a3 и a1?

Верно, на две разности, a3 =a1 + 2d. Давайте продолжим для остальных элементов:

арифметическая прогрессия ЕГЭ

Видите закономерность? Для того чтобы, скажем, получить 8й элемент последовательности, нужно к первому прибавить 7 разностей, чтобы получить 15й элемент, нужно прибавить 14 разностей.

Иначе говоря, если мы знаем первый элемент последовательности  и разность d, мы можем посчитать элемент под любым номером. Для того чтобы получить элемент под номером n, нужно прибавить (спрашиваем ответ) … да, n-1 разностей:

an =a1 + (n-1)d — первая формула, которую нужно записать и выучить.

В конце концов, доля задач на арифметическую прогрессию из всех задач задания 8 невелика, а за полгода подобные формулы без постоянной практики легко забываются.

Аналогично можно «обосновать» формулу суммы прогрессии.Например, есть следующая прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Если я попрошу вас найти сумму первых трех элементов, вам нужно сложить 3 + 5 + 7. Если надо найти сумму первых 6 элементов, соответственно 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13. Обозначается сумма прогрессии буквой S:

S3 = 3+5+7, S4 = 3+5+7+9, S6 = 3+5+7+9+11+13 — число внизу означает число первых элементов, которые мы суммируем.

Давайте теперь получим формулу, по которой можно рассчитывать сумму первых n элементов в зависимости от n. Попробуем на примере прогрессии, которую мы знаем. Скажем, нужно узнать сумму первых 9 элементов такой прогрессии:

1 2 3 4 5 6 7 8 9, S9 – ?

Можно просто «руками» сложить все 9 чисел и получить ответ. Но если мы работаем с очень большой прогрессией (скажем, больше 100 элементов), это очень долгий способ.

 

Заметьте вот такую штуку: 1 + 9=10, 2 + 8=10 тоже, как и 3 + 7. Складывая 1е число слева и 1е справа, мы получаем такую же сумму, как и складывая, скажем, 4е число слева и справа. В сумме они равны 10, в среднем (если разделить такую пару пополам) 5. Единственное число, которое не с чем складывать — это 5, но оно как раз равно среднему!

Выходит, у арифметической прогрессии есть некоторое «среднее число», которое в этой прогрессии равно 5. И если мы сложим 9 чисел прогрессии, мы получим то же самое, как если мы сложим 9 пятерок, проще говоря, умножим 9 на 5. Так мы тоже получим сумму прогрессии.

Вывод: для того, чтобы посчитать сумму прогрессии, нужно среднее число прогрессии умножить на число элементов.

Запишем это в общем виде. Если у нас есть последовательность a1 aa3 a4 a5 a6 a7 a8…. и нам нужно найти сумму первых n элементов, то есть Sn, то нужно найти среднее между 1м и n-м элементами и умножить на n:

    \[S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n\]

Это вторая формула, которую вам следует знать.

Теперь, если подставить первую полученную формулу во вторую, мы получим третью формулу:

    \[S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}*n\]

Эти три формулы нужно знать или научиться получать, чтобы решать задачи на прогрессию в ЕГЭ по профильной математике.

Задачи на геометрические прогрессии – теория

Начнем, как обычно, с самых азов, проведя параллели между прогрессиями.

Допустим, у нас есть числовая последовательность: 3, 6, 9, 12, 15.

Вы сразу же ответите, что это арифметическая последовательность с разностью прогрессии d=3. А что вы тогда можете сказать насчет такого набора: 1, 10, 100, 1000, 10000.

Если вы будете вычитать из последующего числа предыдущее, то увидите, что каждый раз получается новая разница (9;90;900 и т.д.). Но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в 10 раз больше предыдущего! Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается bn.

Геометрическая прогрессия bn — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Повторим: q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии. Оно может быть положительным и отрицательным, но не нулем.

Допустим, q у нас положительное. Пусть в нашем случае q=3, а b1 =4.

Чему равен второй член b2 и b3? Несложно заметить, что: b2=4*3=12, b3=12*3=36

Все верно. Соответственно, если q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.

А что если q отрицательное? Например, q=−3, а b1=4. Чему равен второй член b2 = и b3 =?

b2=4*(-3)=-12, b3=(-12)*(-3)=36

Таким образом, если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

То есть, если вы видите прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на 100% отрицательный.

Перейдем снова к теоретической части. Если в геометрической прогрессии вы знаете первый член и знаменатель, то вы можете найти любой член прогрессии по формуле:

    \[b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\]

Также запишем формулы, которые нам также могут пригодиться для решения данных задач.

    \[b_{n}=\sqrt{b_{n+1}*b_{n-1}}\]

    \[S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{(q-1)}\]

Примеры задач на арифметическую прогрессию

Задание 1

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день

в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Ответ: 8

Задание 2

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Ответ: 97

Задание 3

Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Ответ: 57

Примеры задач на геометрическую прогрессию

Задание 1

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Ответ: 320 000

Задание 2

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль

в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответ: 50 000

8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
Подготовьтесь к ЕГЭ или ОГЭ за 4 месяца

Интенсивный онлайн курс в Годографе с экспертами МЦКО

Узнать подробнее
8 бит 8 бит

Ответы на часто задаваемые вопросы

Как выглядит арифметическая прогрессия?
В общем, арифметическую прогрессию можно представить следующим образом: a_1,a_2,a_3,a_4,a_5...
Как выглядят задачи на арифметическую прогрессию с решением?
Для решения всех номеров данного подтипа необходимо знать три формулы: представления n-ного элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях. Подробнее о них вы можете почитать выше.
Как влияет число q на знак прогрессии?
Если q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны. Если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. То есть, если вы видите прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на 100% отрицательный.
Все статьи
Читайте также
Задание 10 ЕГЭ по профильной математике
Задание 11 ЕГЭ по профильной математике

Как быстро решить 11 задание ЕГЭ по математике? Для того чтобы решить 11 задачу в считанные минуты, важно просто быть внимательным. Ведь вся суть – в том, чтобы корректно подставить…

Кубические уравнения ЕГЭ по математике
Кубические уравнения ЕГЭ по математике

Кубические уравнения ЕГЭ: что это такое и в каких номерах встречаются Кубическим уравнением считается такое уравнение, в котором неизвестная находится в третьей степени. В ЕГЭ по математике профиль простейшие кубические…