Задачи на прогрессии и насколько сложно их решать?

Задачи на прогрессии – наиболее простой и наименее объемный тип задач блока заданий 10. Они делятся на два подтипа по характеру прогрессии: арифметической и геометрической. Задачи второго подтипа не требуют никаких знаний, кроме представления о геометрической прогрессии. Для решения же первого подтипа нужно знание пары элементарных формул и умения с ними работать.

Задачи на арифметические прогрессии

При этом числа должны либо только расти, либо только уменьшаться. Вот несколько простейших примеров:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 7 10 13 16 19

5 3 1 -1 –3 –5 –7

В общем виде арифметическая прогрессия обозначается обычно вот так:

a₁ a₂  a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ a₁₀….

Если, скажем, у нас есть такая прогрессия: 2 5 8 11 …, то здесь a₁ = 2 и a₂ = 5, a₃ = 8, a₄ = 11 так далее.

Элемент, стоящий в арифметической прогрессии под номером n, обозначают соответственно a_n.

Как решать задачи на арифметические прогрессии ЕГЭ

Для решения всех номеров данного подтипа необходимо знать три формулы: представления n-ного элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях:

Как уже говорили, каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.

Скажите, чему равна разность в следующей арифметической прогрессии: 12 17 22 27?

Получается a₂ =a₁ + d. Точно так же a₃ =a₂ + d, a₄ =a₃ + d

А на сколько отличаются элементы, стоящие через один? Например a₃ и a₁?

Верно, на две разности, a₃ =a₁ + 2d. Давайте продолжим для остальных элементов:

Видите закономерность? Для того чтобы, скажем, получить 8й элемент последовательности, нужно к первому прибавить 7 разностей, чтобы получить 15й элемент, нужно прибавить 14 разностей.

Иначе говоря, если мы знаем первый элемент последовательности  и разность d, мы можем посчитать элемент под любым номером. Для того чтобы получить элемент под номером n, нужно прибавить (спрашиваем ответ) … да, n-1 разностей:

a_n =a₁ + (n-1)d — первая формула, которую нужно записать и выучить.

В конце концов, доля задач на арифметическую прогрессию из всех задач задания 8 невелика, а за полгода подобные формулы без постоянной практики легко забываются.

Аналогично можно «обосновать» формулу суммы прогрессии.Например, есть следующая прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Если я попрошу вас найти сумму первых трех элементов, вам нужно сложить 3 + 5 + 7. Если надо найти сумму первых 6 элементов, соответственно 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13. Обозначается сумма прогрессии буквой S:

S₃ = 3+5+7, S₄ = 3+5+7+9, S₆ = 3+5+7+9+11+13 — число внизу означает число первых элементов, которые мы суммируем.

Давайте теперь получим формулу, по которой можно рассчитывать сумму первых n элементов в зависимости от n. Попробуем на примере прогрессии, которую мы знаем. Скажем, нужно узнать сумму первых 9 элементов такой прогрессии:

1 2 3 4 5 6 7 8 9, S₉ – ?

Можно просто «руками» сложить все 9 чисел и получить ответ. Но если мы работаем с очень большой прогрессией (скажем, больше 100 элементов), это очень долгий способ.

Заметьте вот такую штуку: 1 + 9=10, 2 + 8=10 тоже, как и 3 + 7. Складывая 1е число слева и 1е справа, мы получаем такую же сумму, как и складывая, скажем, 4е число слева и справа. В сумме они равны 10, в среднем (если разделить такую пару пополам) 5. Единственное число, которое не с чем складывать — это 5, но оно как раз равно среднему!

Выходит, у арифметической прогрессии есть некоторое «среднее число», которое в этой прогрессии равно 5. И если мы сложим 9 чисел прогрессии, мы получим то же самое, как если мы сложим 9 пятерок, проще говоря, умножим 9 на 5. Так мы тоже получим сумму прогрессии.

Запишем это в общем виде. Если у нас есть последовательность a₁ a₂  a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈…. и нам нужно найти сумму первых n элементов, то есть S_n, то нужно найти среднее между 1м и n-м элементами и умножить на n:

Это вторая формула, которую вам следует знать.

Теперь, если подставить первую полученную формулу во вторую, мы получим третью формулу:

Эти три формулы нужно знать или научиться получать, чтобы решать задачи на прогрессию в ЕГЭ по профильной математике.

Геометрические прогрессии – теория

Начнем, как обычно, с самых азов, проведя параллели между прогрессиями.

Допустим, у нас есть числовая последовательность: 3, 6, 9, 12, 15.

Вы сразу же ответите, что это арифметическая последовательность с разностью прогрессии d=3. А что вы тогда можете сказать насчет такого набора: 1, 10, 100, 1000, 10000.

Если вы будете вычитать из последующего числа предыдущее, то увидите, что каждый раз получается новая разница (9;90;900 и т.д.). Но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в 10 раз больше предыдущего! Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается b_n.

Геометрическая прогрессия b_n — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Повторим: q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии. Оно может быть положительным и отрицательным, но не нулем.

Допустим, q у нас положительное. Пусть в нашем случае q=3, а b₁ =4.

Чему равен второй член b₂ и b₃? Несложно заметить, что: b₂=4*3=12, b₃=12*3=36

Все верно. Соответственно, если q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.

А что если q отрицательное? Например, q=−3, а b₁=4. Чему равен второй член b₂ = и b₃ =?

b₂=4*(-3)=-12, b₃=(-12)*(-3)=36

Таким образом, если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

То есть, если вы видите прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на 100% отрицательный.

Перейдем снова к теоретической части. Если в геометрической прогрессии вы знаете первый член и знаменатель, то вы можете найти любой член прогрессии по формуле:

Также запишем формулы, которые нам также могут пригодиться для решения данных задач.

Онлайн подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2025 с выгодой до 30%

Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам

Узнать подробнее

Примеры задач на арифметические прогрессии