Как решать 10 задание ЕГЭ по математике?

Для решения всех номеров данного подтипа необходимо знать три формулы: представления n-ного элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях:

Решение задания 10 из ЕГЭ по математике

Как уже говорили, каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.

Скажите, чему равна разность в следующей арифметической прогрессии: 12 17 22 27?

Получается a₂=a₁+d, Точно так же a₃=a₂+d, a₄=a₃+d

А на сколько отличаются элементы, стоящие через один? Например, a₁и a₃ ?

Верно, на две разности, a₃=a₁+2d. Давайте продолжим для остальных элементов:

Видите закономерность? Для того чтобы, скажем, получить 8й элемент последовательности, нужно к первому прибавить 7 разностей, чтобы получить 15-й элемент, нужно прибавить 14 разностей.

Иначе говоря, если мы знаем первый элемент последовательности  и разность d, мы можем посчитать элемент под любым номером. Для того чтобы получить элемент под номером n, нужно прибавить (спрашиваем ответ) … да, n-1 разностей:

a_n=a₁+(n-1)d — первая формула, которую нужно записать и выучить.

В конце концов, доля задач на арифметическую прогрессию из всех задач задания 8 невелика, а за полгода подобные формулы без постоянной практики легко забываются.

Аналогично можно «обосновать» формулу суммы прогрессии.Например, есть следующая прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Если я попрошу вас найти сумму первых трех элементов, вам нужно сложить 3 + 5 + 7. Если надо найти сумму первых 6 элементов, соответственно 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13. Обозначается сумма прогрессии буквой S:

Число внизу означает число первых элементов, которые мы суммируем.

Давайте теперь получим формулу, по которой можно рассчитывать сумму первых n элементов в зависимости от n. Попробуем на примере прогрессии, которую мы знаем. Скажем, нужно узнать сумму первых 9 элементов такой прогрессии:

1 2 3 4 5 6 7 8 9, S₉ – ?

Можно просто «руками» сложить все 9 чисел и получить ответ. Но если мы работаем с очень большой прогрессией (скажем, больше 100 элементов), это очень долгий способ.

Заметьте вот такую штуку: 1 + 9=10, 2 + 8=10 тоже, как и 3 + 7. Складывая 1е число слева и 1е справа, мы получаем такую же сумму, как и складывая, скажем, 4е число слева и справа. В сумме они равны 10, в среднем (если разделить такую пару пополам) 5. Единственное число, которое не с чем складывать — это 5, но оно как раз равно среднему!

Выходит, у арифметической прогрессии есть некоторое «среднее число», которое в этой прогрессии равно 5. И если мы сложим 9 чисел прогрессии, мы получим то же самое, как если мы сложим 9 пятерок, проще говоря, умножим 9 на 5. Так мы тоже получим сумму прогрессии.

Запишем это в общем виде. Если у нас есть последовательность a₁a₂ a₃a₄a₄a₅a₆a₈… и нам нужно найти сумму первых n элементов, то есть S_n, то нужно найти среднее между 1м и n-м элементами и умножить на n:

Это вторая формула, которую вам следует знать.

Теперь, если подставить первую полученную формулу во вторую, мы получим третью формулу:

Эти три формулы нужно знать или научиться получать, чтобы решать задания 9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Онлайн подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2025 с выгодой до 30%

Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам

Узнать подробнее

Примеры заданий 10 ЕГЭ 2024 по математике