Рациональные уравнения ОГЭ
Что такое дробно рациональные уравнения из ОГЭ?
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным. Например:
Рациональные уравнения ОГЭ – теория
Рациональные уравнения — это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями.
Иногда встречается определение в немного другой формулировке:
Рациональными уравнениями называют уравнения, в левой части которого находится рациональное выражение, а в правой — нуль.
Стоит заметить, что, по сути, оба приведенных определения эквивалентны, так как для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P – Q =0 являются равносильными уравнениями.
Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений.
Например:
Это всё рациональные уравнения, которые встречаются в ОГЭ.
Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными.
В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.
Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.
- Рациональное уравнение называют целым, если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.
- Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно-рациональным (или дробным рациональным).
Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную. Напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе).
Так уравнения:
это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями.
А уравнения:
примеры дробных рациональных уравнений. Данные уравнения выглядят устрашающе, но мы будем решать более простые, эти примеры даны в качестве ознакомления.
Обратите внимание на то, что известные нам линейные и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.
Решение дробно рациональных уравнений ОГЭ
Есть несколько вариантов решения подобных уравнений, рассмотрим самый простой, решаемый с помощью пропорции. Напомним, что любые выражения типа:
можно перемножить крест-накрест и получить следующий вид: ad=bc
Из такого вида легко выразить любую переменную:
Рассмотрим самый простой пример:
Привели к обычному квадратному уравнению, корнями которого являются числа 1 и -2. При таком подходе очень важно сделать проверку, так как корни могут оказаться посторонними, так как при них знаменатель равен нулю. В нашем случае знаменатель равен нулю при x = –1 и x = 0, поэтому оба наших корня подходят.
Иногда встречаются неочевидные примеры:
В этом случае не стоит отчаиваться или начинать приводить все к общему знаменателю, ведь никто не мешает в левой части уравнения дописать знаменатель, равный 1.
Обратите внимание, что в данном примере нет ограничений на х, так как в знаменателе отсутствует переменная.
Осталось рассмотреть вариант, когда справа в уравнении ноль. Как вы думаете, как мы будем решать нашим методом уравнения вида:
Еще один подход к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям. Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения:
- сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
- после этого, в левой части уравнения образовавшееся целое выражение преобразуют в многочлен стандартного вида.
В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так, в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае — к решению алгебраического уравнения степени n.
А теперь давайте разберемся, как решать дробно рациональные уравнения вида
где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. А дальше посмотрим, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.
В основе одного из подходов к решению данного уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь
где v — отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с делением на нуль, которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0. В силу этого утверждения, решение уравнения сводится r выполнению двух условий p(x) = 0 и q(x)≠0.
Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения ОГЭ по математике:
Чтобы решить дробное рациональное уравнение такого вида , надо выполнить следующие действия:
- решить целое рациональное уравнение p(x) = 0;
- и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0, при этом:
- если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
- если не выполняется, то этот корень — посторонний, то есть не является корнем исходного уравнения.
Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам
Узнать подробнееРазбор решения дробно рациональных уравнений в ОГЭ по математике
Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.
Пример. Найдите корни уравнения:
Решение.
Это дробно рациональное уравнение, причем вида:
где:
Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3x-2=0. Это линейное уравнение, корнем которого является:
Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5x2-2≠0. Подставляем в выражение 5x2-2 вместо x число 2/3, получаем:
Условие выполнено, поэтому является корнем исходного уравнения.
Ответ:
К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) области переменной x исходного уравнения:
То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения:
- решить уравнение p(x)=0;
- найти ОДЗ переменной x;
- взять корни, принадлежащие области допустимых значений, — они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.
Алгоритм решения дробного рационального уравнения из ОГЭ r(x)=s(x). Чтобы решить дробное рациональное уравнение , надо:
- получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком;
- выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида:
- решить уравнение p(x)=0;
- выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.
Пример. Решите дробно рациональное уравнение:
Решение.
Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения.
И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую. В результате переходим к уравнению:
На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби:
Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение:
Так мы приходим к уравнению:
На следующем этапе нам нужно решить уравнение -2x-1=0. Находим:
Остается проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.
Начнем с проверки. Подставляем в исходное уравнение вместо переменной x число −1/2, получаем −1 = −1. Подстановка дает верное числовое равенство, поэтому, x = −1/2 является корнем исходного уравнения.
Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x = −1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Найденный на предыдущем шаге корень принадлежит ОДЗ, следовательно корнем исходного уравнения является:
Ответ:
Рациональные уравнения 9 класс ОГЭ – примеры
Задание 1
Решите уравнение:
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Задание 2
Найдите корень уравнения:
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Задание 3
Решите уравнение:
Задание 4
Решите уравнение:
Задание 5
Решите уравнение:
Ответы к заданиям:
- Ответ: -5.
- Ответ: 1.
- Ответ: -22.
- Ответ: 4.
- Ответ: 21.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Что такое практико ориентированные задачи в ОГЭ? Это пласт задач, которые моделируют жизненные ситуации. Для их решения нужно изучить схему и вдумчиво прочитать пару абзацев текста. Вспомним основные понятия, теоремы…
Краткий ответ, к ак решать задания на неравенства из ОГЭ по математике Для того чтобы научиться решать задания экзамена ОГЭ, где встречаются линейные неравенства и их системы, следует основательно знать…