8 бит
8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
8 бит
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит
рациональное уравнение из ОГЭ

Рациональные уравнения ОГЭ

Что такое дробно рациональные уравнения из ОГЭ?

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным. Например:

    \[\frac{3x-2}{5x^{2}-2}=0\]

Рациональные уравнения ОГЭ – теория

Рациональные уравнения — это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями.

Иногда встречается определение в немного другой формулировке:

Рациональными уравнениями называют уравнения, в левой части которого находится рациональное выражение, а в правой — нуль.

Стоит заметить, что, по сути, оба приведенных определения эквивалентны, так как для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P – Q =0 являются равносильными уравнениями.

Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений.

Например:

ОГЭ математика

Это всё рациональные уравнения, которые встречаются в ОГЭ.

Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными.

В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.

Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

  • Рациональное уравнение называют целым, если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.
  • Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно-рациональным (или дробным рациональным).

Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную. Напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе).

Так уравнения: 

подготовка к огэ

это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями.

А уравнения: 

дробно рациональных уравнений ОГЭ

примеры дробных рациональных уравнений. Данные уравнения выглядят устрашающе, но мы будем решать более простые, эти примеры даны в качестве ознакомления.

Обратите внимание на то, что известные нам линейные и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Решение дробно рациональных уравнений ОГЭ

Есть несколько вариантов решения подобных уравнений, рассмотрим самый простой, решаемый с помощью пропорции. Напомним, что любые выражения типа:

    \[\frac{a}{cb}=\frac{c}{d}\]

можно перемножить крест-накрест и получить следующий вид: ad=bc

Из такого вида легко выразить любую переменную: 

    \[a=\frac{bc}{d}\]

Рассмотрим самый простой пример:

задания огэ математика

Привели к обычному квадратному уравнению, корнями которого являются числа 1 и -2. При таком подходе очень важно сделать проверку, так как корни могут оказаться посторонними, так как при них знаменатель равен нулю. В нашем случае знаменатель равен нулю при x = –1 и x = 0, поэтому оба наших корня подходят.

Иногда встречаются неочевидные примеры:

    \[x-2=\frac{2}{3}\]

В этом случае не стоит отчаиваться или начинать приводить все к общему знаменателю, ведь никто не мешает в левой части уравнения дописать знаменатель, равный 1.

прототипы огэ математика

Обратите внимание, что в данном примере нет ограничений на х, так как в знаменателе отсутствует переменная.

 

Осталось рассмотреть вариант, когда справа в уравнении ноль. Как вы думаете, как мы будем решать нашим методом уравнения вида: 

    \[\frac{x+6}{3x}=0?\]

Еще один подход к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям. Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения:

  • сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
  • после этого, в левой части уравнения образовавшееся целое выражение преобразуют в многочлен стандартного вида.

В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так, в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае — к решению алгебраического уравнения степени n.

А теперь давайте разберемся, как решать дробно рациональные уравнения вида

    \[\frac{p(x)}{q(x)}=0\]

 где p(x) и q(x)  – целые рациональные выражения. А дальше посмотрим, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

В основе одного из подходов к решению данного уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь

    \[\frac{u}{v}\]

где v — отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с делением на нуль, которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0. В силу этого утверждения, решение уравнения сводится r выполнению двух условий  p(x) = 0 и q(x)≠0.

Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения ОГЭ по математике:

    \[\frac{p(x)}{q(x)}=0\]

Чтобы решить дробное рациональное уравнение такого вида , надо выполнить следующие действия:

  • решить целое рациональное уравнение p(x) = 0;
  • и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0, при этом:
    • если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
    • если не выполняется, то этот корень — посторонний, то есть не является корнем исходного уравнения.
8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
Онлайн подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2025 с выгодой до 30%

Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам

Узнать подробнее
8 бит 8 бит

Разбор решения дробно рациональных уравнений в ОГЭ по математике

Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.

Пример. Найдите корни уравнения:

    \[\frac{3x-2}{5x^{2-x}}=0\]

Решение.

Это дробно рациональное уравнение, причем вида:

    \[\frac{p(x)}{q(x)}=0\]

где:

    \[p(x)=3x-2,q(x)=5x^{2}-2\not\equiv 0\]

Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3x-2=0. Это линейное уравнение, корнем которого является:

    \[x=\frac{2}{3}\]

Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5x2-2≠0. Подставляем в выражение 5x2-2 вместо x  число 2/3, получаем:

    \[5*(\frac{2}{3}^{})^{2}-2=\frac{2}{9}\not\equiv0\]

Условие выполнено, поэтому  является корнем исходного уравнения.

Ответ:  

    \[\frac{2}{3}\]

К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0  на области допустимых значений (ОДЗ) области переменной x исходного уравнения:

То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения:

    \[\frac{p(x)}{q(x)}=0\]

  • решить уравнение p(x)=0;
  • найти ОДЗ переменной x;
  • взять корни, принадлежащие области допустимых значений, — они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.

Алгоритм решения дробного рационального уравнения из ОГЭ r(x)=s(x). Чтобы решить дробное рациональное уравнение , надо:

  • получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком;
  • выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида:

    \[\frac{p(x)}{q(x)}\]

  • решить уравнение p(x)=0;
  • выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите дробно рациональное уравнение:

    \[\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x}+1\]

Решение.

Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения.

И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую. В результате переходим к уравнению:

    \[\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x}-1=0\]

На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби:

    \[\frac{p(x)}{q(x)}\]

Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение:

    \[\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x}-1=\frac{-2x-1}{x(x+1)}\]

Так мы приходим к уравнению:

    \[\frac{-2x-1}{x(x+1)}\]

На следующем этапе нам нужно решить уравнение -2x-1=0. Находим:

    \[x=-\frac{1}{2}\]

Остается проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.

Начнем с проверки. Подставляем в исходное уравнение вместо переменной x число −1/2, получаем −1 = −1. Подстановка дает верное числовое равенство, поэтому, x = −1/2 является корнем исходного уравнения.

Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x = −1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Найденный на предыдущем шаге корень  принадлежит ОДЗ, следовательно корнем исходного уравнения является:

    \[x=-\frac{1}{2}\]

Ответ

    \[-\frac{1}{2}\]

Рациональные уравнения 9 класс ОГЭ – примеры

Задание 1

Решите уравнение:

    \[\frac{x+5}{7x+11}=\frac{x+5}{6x+1}\]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Задание 2

Найдите корень уравнения:

    \[x=\frac{-4x-7}{x-12}\]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Задание 3

Решите уравнение:

    \[\frac{1}{3x-11}=\frac{1}{4x+11}\]

Задание 4

Решите уравнение:

    \[\frac{11}{x-2}=\frac{11}{2}\]

Задание 5

Решите уравнение:

    \[\frac{7}{x-14}=\frac{14}{x-7}\]

Ответы к заданиям:

  1. Ответ: -5.
  2. Ответ: 1.
  3. Ответ: -22.
  4. Ответ: 4.
  5. Ответ: 21.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Что такое рациональные уравнения – ОГЭ по математике?
Рациональные уравнения — это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями.
Как решить дробно рациональное уравнение из ОГЭ?
Алгоритм решения дробного рационального уравнения r(x)=s(x): перенести правую часть выражения в левую с противоположным знаком, преобразовать левую часть в рациональную дробь, решить уравнение и исключить посторонние корни методом подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.  
Все статьи
Читайте также
Практико-ориентированные задачи ОГЭ по математике
Практико-ориентированные задачи ОГЭ по математике

Что такое практико ориентированные задачи в ОГЭ? Это пласт задач, которые моделируют жизненные ситуации. Для их решения нужно изучить схему и вдумчиво прочитать пару абзацев текста. Вспомним основные понятия, теоремы…

20 задание ОГЭ по математике
20 задание ОГЭ по математике

Краткий ответ, к ак решать задания на неравенства из ОГЭ по математике Для того чтобы научиться решать задания экзамена ОГЭ, где встречаются линейные неравенства и их системы, следует основательно знать…