16 задание ОГЭ по математике – окружность, круг и их элементы
Как решать 16 задание ОГЭ по математике
Для этого потребуется повторить определения окружности и круга, их свойства, а также вспомнить формулы, которые встречаются в задачах 16. Научившись применять свойства и рассчитывать углы по формулам, вы сможете находить правильный ответ к заданиям любой сложности.
Окружность, круг, их элементы – задание 16 ОГЭ математика 2024
Окружность — это плоская замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.
Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.
Основные свойства окружности
- Диаметр окружности равен двум радиусам:D=2r
- Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса. (Поэтому радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной).
Формулы длины окружности и площади круга
Формулы длины окружности:
- Формула длины окружности через диаметр: L=πD
- Формула длины окружности через радиус: L=2πr
Формулы площади круга:
- Формула площади круга через радиус: S=πr2
- Формула площади круга через диаметр:
Касательная, секущая, хорда окружности – 16 задание ОГЭ по математике
Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности:
- Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения и наоборот.
- Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равно радиусу окружности.
- Отрезки касательных, заключенные между точкой пересечения касательных и точками касания с окружностью, равны:
AB=AC
- Углы, заключенные между касательными и прямой, проходящей через центр окружности и точку пересечения касательных, равны:
∠ OAC= ∠ OAB
Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности. На рисунке секущая KN.
Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности. На рисунке хорда AB.
Свойство секущей и касательной: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезков секущей:
Хорда окружности обладает следующими свойствами:
- Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.
- Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
- Две дуги равны, если они заключены между двумя равными хордами.
Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам
Узнать подробнееЦентральный угол, вписанный угол и их свойства – задание 16 ОГЭ математика 9 класс 2024
Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.
Угол, вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов:
- Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны.
- Вписанный угол, который опирается на диаметр, будет прямым (90°).
- Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
- Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
Дуга окружности — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.
Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
Полуокружность — дуга, в которой концы соединены диаметром окружности.
Полукруг — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.
Сектор — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.
Формула площади сектора через центральный угол (в градусах):
Вписанная и описанная окружности – разбор 16 задания ОГЭ по математике 2024
Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника.
Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности.
Свойства вписанной окружности:
- Окружность можно вписать в любой треугольник.
- Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны. Например, на рисунке:
Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в любой параллелограмм и в прямоугольник.
Свойства описанной окружности:
- Окружность можно описать около любого треугольника.
- Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны (180°). Например, на рисунке:
Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около любого параллелограмма и ромба.
Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:
1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:
а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают;
б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию;
3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы;
4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника.
Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:
- Центр окружности, вписанной в треугольник, расположен внутри треугольника;
- Центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;
- В равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.
Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей. И тогда сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Варианты 16 задания ОГЭ по математике
Задача 1
Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6π, угол сектора равен 120°, а радиус круга равен 9. В ответ укажите площадь, деленную на π.
Решение
Площадь сектора равна
имеем:
Ответ: 27.
Задача 2
Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Решение
Угол, образованный хордой и касательной, равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол MOK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол MOK равен 166°.
В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠OKM = ∠ OMK = (180° − ∠ KOM ) / 2 = (180° − 166°) / 2 = 7°.
Ответ: 7.
Задача 3
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник ABC — равнобедренный, следовательно
Угол BAC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы BAC и BOC опираются на одну и ту же дугу, следовательно
Ответ: 3.
Задача 4
Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
Решение
Пусть R — радиус описанной окружности. Так как окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза равна 2R.
По теореме Пифагора имеем:
Ответ: 6,5.
Задача 5
В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:
∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 83° = 97°.
Ответ: 97.
Ответы на часто задаваемые вопросы
В отличие от ЕГЭ, ОГЭ никаким изменениям не подверглось – демоверсия ОГЭ по математике 9 класс от ФИПИ по структуре и содержанию такая же, как и в 2022 году. Работа…
Варианты 11 задания ОГЭ по математике – краткий ответ Так же, как и в примерах с линейными и квадратичными функциями, ответом в задании ОГЭ по математике 11 является набор цифр,…