8 бит
8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
8 бит
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит
15 задание ОГЭ по математике – треугольники

15 задание ОГЭ по математике – треугольники

Простой ответ, что включено в 15 задание ОГЭ по математике

Тема треугольников в ОГЭ по математике охватывает все важные определения и формулы площади различных фигур. Важно знать и уметь применять свойства треугольников, а также ориентироваться в понятиях синуса, косинуса, тангенса прямоугольного треугольника.

Прямоугольные треугольники – разбор 15 задания ОГЭ по математике

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, то есть равен 90º. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла — гипотенуза.

разбор 15 задания ОГЭ по математике

Свойства прямоугольного треугольника:

  • Сумма острых углов треугольника равна 90º.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из катетов.
  • Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  • Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
  • Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит
    в середине гипотенузы.
  • Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

    \[BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\]

Понятие синуса, косинуса, тангенса прямоугольного треугольника – задание 15 ОГЭ математика 2024 теория

задание 15 ОГЭ математика 2023 теория

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    \[sin\text{ }A=\frac{a}{c}\]

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    \[sin\text{ }A=\frac{b}{c}\]

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

    \[tg\text{ }A=\frac{a}{b}\]

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

    \[tg\text{ }A=\frac{sin \text{ A}}{coc\text{ }A}\]

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что-то же самое, отношение косинуса к синусу):

    \[ctg\text{ }A=\frac{cos \text{ A}}{sin\text{ }A}\]

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла справедливо:

    \[sin^{2}a+cos^{2}a=1\]

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника помогают сравнивать углы треугольника, зная соотношение его сторон, и наоборот.

Теорема (соотношения между сторонами и углами треугольника)

В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) против большего угла лежит большая сторона.

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

ОГЭ математика 2023 теория

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

ОГЭ математика 2023 теория

Равнобедренный треугольник – ОГЭ математика

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны две стороны. Например: AB = BC — боковые стороны; AC — основание равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник – ОГЭ математика

Свойства равнобедренного треугольника: 

  • в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
  • в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Равнобедренный треугольник – ОГЭ математика

AB=BC (равнобедренный треугольник),  AO=OC (BO — медиана), BO — общая сторона ΔABO и ΔCBO. ΔABO = ΔCBO по 3 признаку.

Следовательно: ∠ ABO = ∠ CBO. BO — биссектриса. ∠AOC  — развернутый угол = 180°.

ОГЭ математика

 BO — высота.

  • В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
  • В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Признаки равнобедренного треугольника: 

1)   если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный; 

2)   если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

3)   если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный; 

4)   если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Свойство углов равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Поскольку в любом треугольнике сумма углов равна 180°, то угол, противоположный основанию выражается следующим образом:

Свойство углов равнобедренного треугольника

где ∠ A и ∠ B — углы при основании равнобедренного треугольника.

Равносторонний треугольник

Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

Свойства равностороннего треугольника

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой: AK=BF=CD

Если a — сторона треугольника, то

    \[AK=BF=CD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника
 и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин: AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1

Свойства равностороннего треугольника

 5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности: BO=R,

равносторонний треугольник огэ

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности: OF=r

    \[r=\frac{a}{2\sqrt{3}}\]

или

    \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\]

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности: R=2r.

Замечательные точки треугольника – ОГЭ математика задание 15

Первая замечательная точка треугольника

Точка пересечения биссектрис.

Замечательные точки треугольника – ОГЭ математика задание 15

Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника. Данная точка равноудалена от сторон треугольника.

Вторая замечательная точка треугольника

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Замечательные точки треугольника – ОГЭ математика

Эта точка — центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника. Данная точка равноудалена от всех вершин треугольника.

Третья замечательная точка треугольника

Точка пересечения медиан.

Замечательные точки треугольника – ОГЭ математика задание 15

Теорема

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану
 в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника

Точка пересечения высот треугольника.

Высоты треугольника огэ математика

Теорема

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

Высоты в тупоугольных треугольниках

В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.

В тупоугольном треугольнике внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.

Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.

Высоты в тупоугольных треугольниках

AK — высота, проведенная к стороне BC.

BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.

CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:

Высоты в тупоугольных треугольниках огэ

Точка H — ортоцентр треугольника ABC.

Площадь треугольника

Первая формула

 

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения длины основания и высоты, опущенной на это основание.

Формула вторая

Площадь треугольника огэ

Площадь треугольника равна половине произведения его соседних сторон на синус угла между ними.

Формула Герона (третья)

Формула Герона (третья)

Формула четвёртая

Площадь треугольника огэ математика

где r — радиус вписанной окружности

Формула пятая

Площадь треугольника огэ

 

где R — радиус описанной окружности.

Прототипы задания 15 ОГЭ математика 2024

Задача 1

Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите высоту этого треугольника.

Решение

 Так как треугольник ABC равносторонний, то его высота BH является и медианой, и биссектрисой. Тогда треугольник ABH — прямоугольный. Тогда:

Прототипы задания 15 ОГЭ математика 2023

Ответ: 24.

Задача 2

В треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=64, CH=16. Найдите cosB.

Решение

Прототипы задания 15 ОГЭ математика 2023

Из треугольника ABH по определению косинуса:

Прототипы задания 15 ОГЭ математика 2023

Ответ: 0,8.

Задача 3

 В треугольнике ABC угол C прямой, AC=9, cosA=0,3. Найдите AB.

Решение

Треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом

Прототипы задания 15 ОГЭ математика 2023

Ответ: 30.

Задача 4

Площадь прямоугольного треугольника равна

    \[32\sqrt{3}\]

Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение

 Пусть x — длина катета, лежащего против угла в 30°, тогда гипотенуза равна 2x, второй катет равен

    \[x\sqrt{3}\]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Прототипы задания 15 ОГЭ математика

Следовательно, длина гипотенузы, равна 16.

Ответ: 16.

8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
Подготовьтесь к ЕГЭ или ОГЭ за 4 месяца

Интенсивный онлайн курс в Годографе с экспертами МЦКО

Узнать подробнее
8 бит 8 бит

Ответы на часто задаваемые вопросы

Что такое равнобедренный треугольник?
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны две стороны.
Как вычислить площадь треугольника?
Два самых простых варианта: 1) площадь треугольника равна половине произведения длины основания и высоты, опущенной на это основание; 2) площадь треугольника равна половине произведения его соседних сторон на синус угла между ними.
Как звучит теорема Пифагора?
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Что такое четыре замечательные точки треугольника?
Первая замечательная точка треугольника – это точка пересечения биссектрис. Вторая замечательная точка треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Третья замечательная точка треугольника – это точка пересечения медиан. Четвёртая замечательная точка треугольника – это точка пересечения высот треугольника.
Все статьи
Читайте также
21 задание ОГЭ по математике
21 задание ОГЭ по математике

Как оформлять 21 задание ОГЭ по математике Для того чтобы получить полный балл за решение 21 задачи, следует математически грамотно и полно раскрыть ответ – из него должен быть понятен…

16 задание ОГЭ по математике
16 задание ОГЭ по математике – окружность, круг и их элементы

Как решать 16 задание ОГЭ по математике Для этого потребуется повторить определения окружности и круга, их свойства, а также вспомнить формулы, которые встречаются в задачах 16. Научившись применять свойства и…