Простой ответ, что включено в 15 задание ОГЭ по математике

Тема треугольников в ОГЭ по математике охватывает все важные определения и формулы площади различных фигур. Важно знать и уметь применять свойства треугольников, а также ориентироваться в понятиях синуса, косинуса, тангенса прямоугольного треугольника.

Прямоугольные треугольники – разбор 15 задания ОГЭ по математике

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, то есть равен 90º. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла — гипотенуза.

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма острых углов треугольника равна 90º.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из катетов.
• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит
  в середине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Понятие синуса, косинуса, тангенса прямоугольного треугольника – задание 15 ОГЭ математика 2024 теория

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что-то же самое, отношение косинуса к синусу):

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла справедливо:

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника помогают сравнивать углы треугольника, зная соотношение его сторон, и наоборот.

Теорема (соотношения между сторонами и углами треугольника)

В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) против большего угла лежит большая сторона.

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Равнобедренный треугольник – ОГЭ математика

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны две стороны. Например: AB = BC — боковые стороны; AC — основание равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника: 

• в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
• в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

AB=BC (равнобедренный треугольник),  AO=OC (BO — медиана), BO — общая сторона ΔABO и ΔCBO. ΔABO = ΔCBO по 3 признаку.

Следовательно: ∠ ABO = ∠ CBO. BO — биссектриса. ∠AOC  — развернутый угол = 180°.

 BO — высота.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Признаки равнобедренного треугольника: 

1)   если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный; 

2)   если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

3)   если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный; 

4)   если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Свойство углов равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Поскольку в любом треугольнике сумма углов равна 180°, то угол, противоположный основанию выражается следующим образом:

где ∠ A и ∠ B — углы при основании равнобедренного треугольника.

Равносторонний треугольник

Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой: AK=BF=CD

Если a — сторона треугольника, то

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника
 и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин: AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1

 5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности: BO=R,

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности: OF=r

или

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности: R=2r.

Замечательные точки треугольника – ОГЭ математика задание 15

Первая замечательная точка треугольника

Точка пересечения биссектрис.

Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника. Данная точка равноудалена от сторон треугольника.

Вторая замечательная точка треугольника

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Эта точка — центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника. Данная точка равноудалена от всех вершин треугольника.

Третья замечательная точка треугольника

Точка пересечения медиан.

Теорема

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану
 в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника

Точка пересечения высот треугольника.

Теорема

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

Высоты в тупоугольных треугольниках

В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.

В тупоугольном треугольнике внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.

Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.

AK — высота, проведенная к стороне BC.

BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.

CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:

Точка H — ортоцентр треугольника ABC.

Площадь треугольника

Первая формула

Площадь треугольника равна половине произведения длины основания и высоты, опущенной на это основание.

Формула вторая

Площадь треугольника равна половине произведения его соседних сторон на синус угла между ними.

Формула Герона (третья)

Формула четвёртая

где r — радиус вписанной окружности

Формула пятая

где R — радиус описанной окружности.

Прототипы задания 15 ОГЭ математика 2024