7 и 8 задания ОГЭ по математике
Как решать задание 7 ОГЭ по математике 2024?
В первую очередь в 7 и 8 заданиях ОГЭ нужно уметь возводить числа в натуральную или целую степень. После этого выполняются простейшие арифметические вычисления и выбирается правильный ответ из предложенных вариантов.
Возведение в степень ОГЭ
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r — это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)5», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Возведение в натуральную степень
По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a. Таким образом, чтобы возвести число a в степень n, нужно вычислить произведение.
Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.
Примеры, как решать задание 7 ОГЭ математика 2024 года
Пример 1.
Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.
Решение.
По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16.
Ответ: (−2)4=16.
Пример 2.
Найдите значение степени
Решение.
Данная степень равна произведению вида:
Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень:
Ответ:
Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим:
Если взять
Возведение в степень даст:
В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени — это есть само число a, то есть а1=а
Например:
(-9)1=-9
Возведение в целую степень – ОГЭ по математике 7 класс задание 7
Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя и для целых отрицательных показателей степени.
Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.
Переходим к возведению в нулевую степень. Мы знаем, что нулевая степень числа определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом а0=1.
Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу.
Например:
а0 не определяется.
Свойства степеней – теория для 7 задания ОГЭ по математике
Теперь запишем все свойства степеней:
Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа а с целым отрицательным показателем -z определяется как дробь вида:
В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.
Пример.
Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем -2.
Решение.
По определению степени с целым отрицательным показателем имеем:
Значение степени в знаменателе легко находится:
Таким образом:
Ответ:
Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам
Узнать подробнееФормулы сокращенного умножения разбор 8 задания ОГЭ по математике
Так как мы теперь все знаем о степенях, давайте поговорим о возведении выражений во вторую степень и правила раскрытия скобок.
Рассмотрим выражение:
(a+b)(a-b)
Разные преподаватели называют способ раскрытия по-разному, кто-то говорит «правило фонтанчика», еще есть вариант — «усики», мы же будем называть это «методом фейерверка». Как этот метод работает:
Возведение суммы в квадрат:
Арифметический квадратный корень
Начнем с определения квадратного корня.
Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.
Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5, −0,3, 0,3, 0, и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25, 0,09, 0,09 и 0 (52=5·5=25, (−0,3)2=(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)2=0,3·0,3=0,09 и 02=0·0=0). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25, числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09, а 0 — это квадратный корень из нуля.
Квадратный корень извлекается только из неотрицательных чисел!
Так как у квадратного корня существует два противоположных по знаку значения, это затрудняет работу с корнями. Для обеспечения однозначности был введен арифметический квадратный корень.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. То есть под арифметическим корнем стоят всегда неотрицательные числа, и при его извлечении мы получаем тоже всегда только одно неотрицательное число, а не два противоположных по знаку, как для квадратного корня.
Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение:
Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.
Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня — подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например:
в записи число 151 — это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением.
При чтении слово «арифметический» часто опускается, например:
запись читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых». Слово «арифметический» произносят лишь тогда, когда хотят особо подчеркнуть, что речь идет именно о неотрицательном квадратном корне из числа.
В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что
для любого неотрицательного числа a.
Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишено смысла выражение:
На практике часто применяются свойства квадратных корней:
Cвойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида .
Корень из частного:
которое часто записывают с помощью дробей как:
Свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем:
при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа:
Как вы уже заметили, корень — это та же степень. И, зная свойства степени, можно работать с корнем. Для корня рассмотрим еще такие свойства:
Сравнение чисел
Помимо заданий на извлечение корней, возведение выражений в степень, могут встретиться задания, в которых нужно расставить числа в порядке возрастания или убывания; указать наибольшее или наименьшее число, то есть сравнить.
Сравнивать можем целые числа, дробные числа, выражения, содержащие корни и степени. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Значение какого из данных выражений является наибольшим? В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение.
Возведем каждое число в квадрат и сравним квадраты этих чисел:
Поскольку
75< 88<90<90,25
то наибольшим является выражение под номером 2.
Ответ: 2.
Пример 2.
Расстояние от Нептуна — одной из планет Солнечной системы — до Солнца равно 4450 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде?
В ответе укажите номер правильного варианта.
4,450·106 км
4,450·107 км
4,450·108 км
4,450·109 км
Решение.
Для решения задач этого типа нужно вспомнить стандартный вид числа.
Число, записанное в стандартном виде, имеет вид:
Преобразуем число к стандартному виду:
Ответ: 4.
Пример 3.
Значение, какого из выражений является числом иррациональным?
Для решения задач этого типа нужно вспомнить определения.
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, есть, где m — целое, а n — натуральное.
Рациональные числа могут быть представлены конечным или бесконечным десятичным периодическим дробью. Множество рациональных чисел обозначается большой латинской буквой Q.
Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде дроби, где m — целое, а n — натуральное. Иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими дробями.
Решение.
1) Воспользуемся вынесением множителя из-под знака корня:
Таким образом, получили рациональное число.
2) Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
Получили рациональное число.
3) Воспользуемся свойством извлечения корня из дроби:
Получили рациональное число.
4) Вынесем множитель из-под знака корня:
Получили иррациональное число.
Ответ: 4.
Пример 4.
Сравните числа:
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение.
Возведем каждое из чисел в квадрат. Получим:
Предположим, что квадраты данных чисел (а, значит и сами числа) равны. (Можно предположить, что первое число меньше второго или наоборот больше). Получим в результате преобразования:
Данное равенство неверное
Следовательно
Ответ: 1.
Прототипы заданий 7 и 8 ОГЭ математика 2024
Задание 1
Найдите значения выражения:
Задание 2
Найдите значение выражения:
Задание 3
Найдите значение выражения:
Задание 4
Представьте выражение
в виде степени с основанием x. В ответе укажите номер правильного варианта:
1)x 14
2)x 54
3)x -45
4)x -14
Задание 5
Какое из данных чисел является иррациональным?
4)все эти числа рациональны
Ответы к заданиям:
- -380.
- -15.
- 558.
- 4.
- 2.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Что такое дробно рациональные уравнения из ОГЭ? Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным. Например: Рациональные уравнения ОГЭ – теория Рациональные уравнения…
Простой ответ, что включено в 15 задание ОГЭ по математике Тема треугольников в ОГЭ по математике охватывает все важные определения и формулы площади различных фигур. Важно знать и уметь применять…