8 бит
8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
8 бит
8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит 8 бит

7 и 8 задания ОГЭ по математике

Как решать задание 7 ОГЭ по математике 2024?

В первую очередь в 7 и 8 заданиях ОГЭ нужно уметь возводить числа в натуральную или целую степень. После этого выполняются простейшие арифметические вычисления и выбирается правильный ответ из предложенных вариантов.

Возведение в степень ОГЭ

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r — это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)5», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение в натуральную степень

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a. Таким образом, чтобы возвести число a в степень n, нужно вычислить произведение.

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Примеры, как решать задание 7 ОГЭ математика 2024 года

Пример 1.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

Решение.

По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16.

Ответ: (−2)4=16.

Пример 2.

Найдите значение степени 

    \[(3\frac{2}{7})^{2}\]

Решение.

Данная степень равна произведению вида:

    \[(3\frac{2}{7}) * 3\frac{2}{7})\]

Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень:

математика огэ

Ответ: 

    \[10\frac{39}{49}\]

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим: 

возведение в степень огэ

Если взять

    \[\pi\sim 3,14159\]

Возведение в степень даст:

огэ математика

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени — это есть само число a, то есть а1

Например:

(-9)1=-9

Возведение в целую степень – ОГЭ по математике 7 класс задание 7

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. Мы знаем, что нулевая степень числа  определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом а0=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу.

Например:

теория для 7 задания ОГЭ

а0 не определяется.

Свойства степеней – теория для 7 задания ОГЭ по математике

Теперь запишем все свойства степеней:

свойства степеней

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа а с целым отрицательным показателем -z определяется как дробь вида:

    \[\frac{1}{a^z}\]

В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Пример.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем -2.

Решение.

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем:

    \[2^{-3}=\frac{1}{2^{8}}\]

Значение степени в знаменателе легко находится:

    \[2^{3}=2*2*2=8\]

Таким образом:

Решение задач огэ

Ответ

    \[\frac{1}{8}\]

8 бит 8 бит
8 бит 8 бит
Онлайн подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2025 с выгодой до 30%

Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам

Узнать подробнее
8 бит 8 бит

Формулы сокращенного умножения разбор 8 задания ОГЭ по математике

Так как мы теперь все знаем о степенях, давайте поговорим о возведении выражений во вторую степень и правила раскрытия скобок.

Рассмотрим выражение: 

(a+b)(a-b)

Разные преподаватели называют способ раскрытия по-разному, кто-то говорит «правило фонтанчика», еще есть вариант — «усики», мы же будем называть это «методом фейерверка». Как этот метод работает:

Формулы сокращенного умножения огэ

Возведение суммы в квадрат:

разбор 8 задания ОГЭ по математике

Арифметический квадратный корень

Начнем с определения квадратного корня.

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.

 

Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5, −0,3, 0,3, 0, и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25, 0,09, 0,09 и 0 (52=5·5=25, (−0,3)2=(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)2=0,3·0,3=0,09 и 02=0·0=0). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25, числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09, а 0 — это квадратный корень из нуля.

Арифметический квадратный корень огэ

Квадратный корень извлекается только из неотрицательных чисел!

Так как у квадратного корня существует два противоположных по знаку значения, это затрудняет работу с корнями. Для обеспечения однозначности был введен арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. То есть под арифметическим корнем стоят всегда неотрицательные числа, и при его извлечении мы получаем тоже всегда только одно неотрицательное число, а не два противоположных по знаку, как для квадратного корня.

    \[\sqrt{25=5}\]

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение:

    \[\sqrt{a}\]

Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.

Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня — подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например:

    \[\sqrt{151}\]

в записи число 151 — это подкоренное число, а в записи  выражение a является подкоренным выражением.

При чтении слово «арифметический» часто опускается, например:

    \[\sqrt{729}\]

запись  читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых». Слово «арифметический» произносят лишь тогда, когда хотят особо подчеркнуть, что речь идет именно о неотрицательном квадратном корне из числа.

В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что  

Арифметический квадратный корень

для любого неотрицательного числа a.

Для отрицательных чисел a записи  мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишено смысла выражение:

    \[\sqrt{-4}\]

На практике часто применяются свойства квадратных корней:

Cвойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида .

    \[\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}}\]

Корень из частного:

Корень из частного огэ

которое часто записывают с помощью дробей как:

    \[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{}a}{\sqrt{b}}\]

Свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем:

    \[\sqrt{a^{2m}}=|a^{m}|\]

при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа:

    \[\sqrt{a^{2}}=|a|\]

Как вы уже заметили, корень — это та же степень. И, зная свойства степени, можно работать с корнем. Для корня рассмотрим еще такие свойства:

    \[n\sqrt{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}},a\ge 0\]

Сравнение чисел

Помимо заданий на извлечение корней, возведение выражений в степень, могут встретиться задания, в которых нужно расставить числа в порядке возрастания или убывания; указать наибольшее или наименьшее число, то есть сравнить.

Сравнивать можем целые числа, дробные числа, выражения, содержащие корни и степени. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Значение какого из данных выражений является наибольшим? В ответе укажите номер правильного варианта.

Сравнение чисел огэ

Решение.

Возведем каждое число в квадрат и сравним квадраты этих чисел:

Возведем число в квадрат

Поскольку

75< 88<90<90,25

то наибольшим является выражение под номером 2.

Ответ: 2.

Пример 2.

Расстояние от Нептуна — одной из планет Солнечной системы — до Солнца равно 4450 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде?

В ответе укажите номер правильного варианта.

4,450·106 км

4,450·107 км

4,450·108 км

4,450·109 км

Решение.

Для решения задач этого типа нужно вспомнить стандартный вид числа.

Число, записанное в стандартном виде, имеет вид:  

Примеры огэ математика

Преобразуем число к стандартному виду:

Примеры огэ математика

Ответ: 4.

Пример 3.

Значение, какого из выражений является числом иррациональным?

Примеры огэ математика

Для решения задач этого типа нужно вспомнить определения.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, есть, где m — целое, а n — натуральное.

Рациональные числа могут быть представлены конечным или бесконечным десятичным периодическим дробью. Множество рациональных чисел обозначается большой латинской буквой Q.

Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде дроби, где m — целое, а n — натуральное. Иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими дробями.

Решение.

1) Воспользуемся вынесением множителя из-под знака корня:

Примеры огэ математика

Таким образом, получили рациональное число.

2) Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

Примеры огэ математика

Получили рациональное число.

3) Воспользуемся свойством извлечения корня из дроби:

Примеры огэ математика

Получили рациональное число.

4) Вынесем множитель из-под знака корня:

Примеры огэ математика

Получили иррациональное число.

Ответ: 4.

Пример 4.

Сравните числа:  

    \[\sqrt{67}+\sqrt{61} и 16\]

В ответе укажите номер правильного варианта.

Примеры огэ математика

Решение.

Возведем каждое из чисел в квадрат. Получим:

Примеры огэ математика

Предположим, что квадраты данных чисел (а, значит и сами числа) равны. (Можно предположить, что первое число меньше второго или наоборот больше). Получим в результате преобразования:

Примеры огэ математика

Данное равенство неверное

    \[\sqrt{4087} <\sqrt{4096}\]

Следовательно

    \[\sqrt{67}+ \sqrt{61}< \sqrt{16}\]

Ответ: 1.

Прототипы заданий 7 и 8 ОГЭ математика 2024

Задание 1

Найдите значения выражения:

    \[-80+0,3*(-10)^{3}\]

Задание 2

Найдите значение выражения:

    \[0,8*(-10)^{2}-95\]

Задание 3

Найдите значение выражения:

    \[2\sqrt{31}*3\sqrt{3}*\sqrt{93}\]

Задание 4

Представьте выражение

    \[\frac{1}{x^{5}}*\frac{1}{x^{9}}\]

в виде степени с основанием x. В ответе укажите номер правильного варианта:

1)x 14 

2)x 54 

3)x -45 

4)x -14 

Задание 5

Какое из данных чисел является иррациональным?

    \[1)\sqrt{0.16}\]

    \[2)\sqrt{1.6}\]

    \[3)\sqrt{1600}\]

4)все эти числа рациональны

Ответы к заданиям:

  1. -380.
  2. -15.
  3.  558.
  4.  4.
  5.  2.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Что такое возведение в степень из ОГЭ?
Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.
Что такое рациональные числа – разбор 8 задания ОГЭ?
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, есть, где m — целое, а n — натуральное. Рациональные числа могут быть представлены конечным или бесконечным десятичным периодическим дробью. Множество рациональных чисел обозначается большой латинской буквой Q.
Что представляют собой иррациональные числа – ОГЭ по математике?
Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде дроби, где m — целое, а n — натуральное. Иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими дробями.
Все статьи
Читайте также
рациональное уравнение из ОГЭ
Рациональные уравнения ОГЭ

Что такое дробно рациональные уравнения из ОГЭ? Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным. Например:     Рациональные уравнения ОГЭ – теория Рациональные уравнения…

15 задание ОГЭ по математике – треугольники
15 задание ОГЭ по математике – треугольники

Простой ответ, что включено в 15 задание ОГЭ по математике Тема треугольников в ОГЭ по математике охватывает все важные определения и формулы площади различных фигур. Важно знать и уметь применять…