14 задание ОГЭ по математике
Как решать 14 задание ОГЭ по математике
Задачи на прогрессии можно разделить на два подтипа по характеру прогрессии: арифметическая и геометрическая. Задачи второго подтипа не требуют никаких знаний, кроме представления о геометрической прогрессии. Для решения же первого подтипа нужно знание пары элементарных формул и умение с ними работать.
Арифметическая прогрессия – 14 задание ОГЭ по математике 2024
Начнем с понятия арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность (или ряд) чисел, где между соседними числами одинаковая разница, то есть, как можно более простыми словами. Вот несколько простейших примеров:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 7 10 13 16 19
5 3 1 –1 –3 –5 –7
Важно: числа должны либо только расти, либо только уменьшаться.
В общем виде, так сказать, символами, арифметическая прогрессия обозначается обычно вот так:
a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10…
Если, например, рассматривается такая прогрессия: 2 5 8 11 …, то здесь a1=2, a2=5, a3=8 и так далее.
Элемент, стоящий в арифметической прогрессии под номером n, обозначают соответственно an.
Для решения 14 задания ОГЭ по математике необходимо знать три формулы: представления n-го элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях:
Далее нужно сказать о том, что, как уже говорили, каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.
Чему равна разность в следующей арифметической прогрессии: 12 17 22 27?
Получается, a2 =a1+d. Точно так же, a3 =a2+d, a4 =a3+d
А на сколько отличаются элементы, стоящие через один? Например, a3 и a1?
На две разности a3 =a1+2d. Давайте продолжим для остальных элементов:
Видите закономерность? Для того чтобы, скажем, получить 8-й элемент последовательности, нужно к первому прибавить 7 разностей; чтобы получить 15-й элемент, нужно прибавить 14 разностей.
Иначе говоря, если мы знаем первый элемент последовательности a1 и разность d, мы можем посчитать элемент под любым номером. Для того чтобы получить элемент под номером n, нужно прибавить n-1 разностей:
an =a1+(n-1)d — первая формула, которую нужно записать и выучить.
Аналогично можно «обосновать» формулу суммы прогрессии.
Есть понятие суммы первых элементов прогрессии. Например, пусть есть следующая прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Если нужно найти сумму первых трех элементов, следует сложить 3 + 5 + 7; если же сумму первых 6 элементов, соответственно, 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13. Обозначается сумма прогрессии буквой S:
S3= 3 +5 +7, S4= 3 +5 +7+9, S6= 3 +5 +7+9 +11 +13 — число внизу означает число первых элементов, которые мы суммируем.
Давайте теперь получим формулу, по которой можно рассчитывать сумму первых элементов в зависимости от . Попробуем на примере прогрессии, которую мы знаем. Скажем, нужно узнать сумму первых 9 элементов такой прогрессии:
1 2 3 4 5 6 7 8 9, S9 — ?
Можно просто «руками» сложить все 9 чисел и получить ответ. Но если мы работаем с очень большой прогрессией (скажем, больше 100 элементов), это очень долгий способ.
Заметьте вот такую штуку: 1 + 9 = 10, 2 + 8 = 10 тоже, как и 3 + 7. Складывая 1-е число слева и 1-е справа, мы получаем такую же сумму, как и складывая, скажем, 4-е число слева и справа. В сумме они равны 10, в среднем (если разделить такую пару пополам) 5. Единственное число, которое не с чем складывать — это 5, но оно как раз равно среднему!
Выходит, у арифметической прогрессии есть некоторое «среднее число», которое в этой прогрессии равно 5. И если мы сложим 9 чисел прогрессии, мы получим то же самое, как если мы сложим 9 пятёрок, проще говоря, умножим 9 на 5. Так мы тоже получим сумму прогрессии.
Вывод: для того чтобы посчитать сумму прогрессии, нужно среднее число прогрессии умножить на число элементов.
Запишем это в общем виде. Если у нас есть последовательность a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10… и нам нужно найти сумму первых n элементов, то есть Sn , то нужно найти среднее между 1-м и n-м элементами и умножить на n:
Это вторая формула, которую вам следует знать.
Теперь, если подставить первую полученную формулу во вторую, мы получим третью формулу:
Эти три формулы нужно знать или научиться получать, чтобы решать различные задачи на последовательности из ОГЭ по математике.
Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам
Узнать подробнееГеометрическая прогрессия – ОГЭ математика
Последовательность, у которой задан первый член b1 не равный 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q не равное 0, называется геометрической прогрессией.
где q — знаменатель прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:
Разбор 14 задания ОГЭ по математике – прототипы
Пример 1
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение
Пусть бригада в первый день покрасила a1 метров забора, во второй — a2 …, в последний — an метров забора. Тогда a1 + an= 60 м, а за n дней было покрашено
S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n=30n \text{ }\text{метров забора}
Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: 30n= 240, значит n= 8. Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.
Ответ: 8.
Пример 2
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Решение
Пусть улитка проползла в первый день a1 метров, во второй — a2, …, в последний — an метров. Тогда a1 + an= 10 м, а за n дней проползла
S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n=30n \text{ }\text{метров}
Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: 5n=150 откуда n=30. Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.
Ответ: 30.
Пример 3
Два приятеля положили в банк по 10000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй — с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль? В ответе напишите «первый» или «второй».
Решение
Обозначим сумму, которую вложил каждый из приятелей за S0. Через год у первого на счету будет S0 · 1,14 рублей или S0 · 1,4641 рублей, а у второго — S0 · 1,45 рублей. Таким образом получаем, что большую прибыль получит первый приятель.
Ответ: первый.
Пример 4
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма
5000·32006–2001 = 5000·35 = 5000·243 = 1 215 000 долларов.
Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма
10 000·52006–2003 = 10 000 · 53 = 10 000 · 125 = 1 250 000.
Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.
Ответ: 35 000.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Какие встречаются варианты 9 задания ОГЭ по математике? Как правило, в 9 задании идет речь о линейных уравнениях с одной переменной. Для их успешного решения нужно знать основы алгебры: раскрывать…
Что такое дробно рациональные уравнения из ОГЭ? Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным. Например: Рациональные уравнения ОГЭ – теория Рациональные уравнения…