Что представляет собой 11 задание ОГЭ по математике 2024?

В 11 задании ОГЭ по математике 2024 идет работа с графиками функций. В большинстве случаев требуется установить соответствие между графиком функции и математическим выражением (формулой). В задании сопоставляется различная информация о функциях. Необходимо находить и использовать в выполнении задания область определения функции, ее промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, уметь читать графики функций.

Линейная функция – задания 11 ОГЭ по математике графики

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения , подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения .

Например, чтобы построить график функции:

удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2  и y=3. Получим точки A(0;2)  и B(3:3). Соединим их и получим график нашей функции:

В формуле у=kx+b и число k называется коэффициентом пропорциональности, причем:

1. Если k>0, то функция  y=kx+b возрастает.
2. Если k<0 , то y=kx+b функция убывает.

Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:

1. Если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функции y=kx  сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY.
2. Если b<0, то график функции получается из графика функции y=kx+b сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

На рисунке ниже изображены графики функций .

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OY. Во всех функциях  b=3— и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3).

Теперь рассмотрим графики функций:

На этот раз во всех функциях коэффициент  меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY  в точке (0;3).

Рассмотрим графики функций:

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2, и мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

• График функции y=2x+3(b=3) пересекает ось OY в точке (0; 3).
• График функции y=2x(b=0) пересекает ось OY в точке (0; 0) — начале координат.
• График функции y=2x-3(b=-3) пересекает ось OY в точке (0; –3).

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.

Если  k<0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k<0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k=0, то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

 
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b. Если b=0, то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси OX, все точки которой имеют абсциссу x=a. 

Например, график уравнения x=3 выглядит так:

Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соответствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

 
Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k₁x+b₁  параллелен графику функции y=k₂x+b₂, если k₁=k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y=k₁x+b₁ перпендикулярен графику функции y=k₂x+b₂, если k₁* k₂ =-1 или k₁ =-1/k₂

Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат С осью OY: Абсцисса любой точки, принадлежащей оси OY, равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью OY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. 

Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0; b).

С осью OX: Ордината любой точки, принадлежащей оси  равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью OX нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. 

Получим 0=kx+b. Отсюда  x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты: 

Квадратичная функция – виды 11 задания ОГЭ по математике

Квадратичной функцией называется функция вида y=ax²+bx+c , где a,b,c — числа, причем a≠0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Чтобы построить график функции y=x², составим таблицу значений

и построим график, используя полученные точки:

 
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x² при любых значениях остальных коэффициентов. 

График функции y=-x² имеет вид:

Итак:

• Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы направлены вверх.
• Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Второй этап построения графика функции — значения x, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью OX.

Поскольку ордината y любой точки, лежащей на оси OX равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осью OX, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax²+bx+c нужно решить квадратное уравнение  ax²+bx+c=0.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: 

который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая: 

1.Если D<0, то уравнение ax²+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, парабола y=ax²+bx+c не имеет точек пересечения с осью OX. Если a>0, то график функции выглядит примерно так: 

2. Если D=0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, парабола y=ax²+bx+c имеет одну точку пересечения с осью OX. Если a>0, то график функции выглядит примерно так:

3. Если D>0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, парабола y=ax²+bx+c имеет две точки пересечения с осью OX:

Если a>0, то график функции выглядит примерно так:

Значит, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Координаты вершины параболы – разбор 11 задания ОГЭ по математике 2024

Следующий важный этап построения графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY, является осью симметрии параболы.

И еще один этап построения графика функции — точка пересечения параболы y=ax²+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax²+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо x подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0; c).

Итак, основные моменты построения графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Подведем итоги по коэффициентам квадратичной функции:

• a — отвечает за направление ветвей параболы;
• b — определить его знак можно, если знать знак абсциссы вершины параболы и знак коэффициента a;
• c — отвечает за точку пересечения параболы с осью OY (похож на коэффициент b в линейной функции).

Прототип 11 задания ОГЭ по математике

Ответы к заданиям

• Ответ: 3.
• Ответ: 12.
• Ответ: 4.