8bit > Математика ОГЭ > Рациональные уравнения ОГЭ

Рациональные уравнения ОГЭ

28-04-2023

Дополнительные темы

Демоверсия ОГЭ по математике 2024 года 16 задание ОГЭ по математике – окружность, круг и их элементы 15 задание ОГЭ по математике – треугольники Практико-ориентированные задачи ОГЭ по математике 14 задание ОГЭ по математике Теория вероятностей в ОГЭ по математике 9 класс 21 задание ОГЭ по математике 20 задание ОГЭ по математике 12 задание ОГЭ по математике – расчеты по формулам Функции арифметического квадратного корня — ОГЭ по математике 11 задание ОГЭ по математике 13 задание ОГЭ по математике Рациональные уравнения ОГЭ 9 задание ОГЭ по математике 7 и 8 задания ОГЭ по математике 6 задание ОГЭ по математике Демоверсия ОГЭ по математике 2023 года

Что такое дробно рациональные уравнения из ОГЭ?

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным. Например:

$\frac{3x-2}{5x^{2}-2}=0$

Рациональные уравнения ОГЭ – теория

Рациональные уравнения — это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями.

Иногда встречается определение в немного другой формулировке:

Рациональными уравнениями называют уравнения, в левой части которого находится рациональное выражение, а в правой — нуль.

Стоит заметить, что, по сути, оба приведенных определения эквивалентны, так как для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P – Q =0 являются равносильными уравнениями.

Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений.

Например:

Это всё рациональные уравнения, которые встречаются в ОГЭ.

Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными.

В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.

Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

Рациональное уравнение называют целым, если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.
Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно-рациональным (или дробным рациональным).

Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную. Напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе).

Так уравнения:

это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями.

А уравнения:

примеры дробных рациональных уравнений. Данные уравнения выглядят устрашающе, но мы будем решать более простые, эти примеры даны в качестве ознакомления.

Обратите внимание на то, что известные нам линейные и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Решение дробно рациональных уравнений ОГЭ

Есть несколько вариантов решения подобных уравнений, рассмотрим самый простой, решаемый с помощью пропорции. Напомним, что любые выражения типа:

$\frac{a}{cb}=\frac{c}{d}$

можно перемножить крест-накрест и получить следующий вид: ad=bc

Из такого вида легко выразить любую переменную:

$a=\frac{bc}{d}$

Рассмотрим самый простой пример:

Привели к обычному квадратному уравнению, корнями которого являются числа 1 и -2. При таком подходе очень важно сделать проверку, так как корни могут оказаться посторонними, так как при них знаменатель равен нулю. В нашем случае знаменатель равен нулю при x = –1 и x = 0, поэтому оба наших корня подходят.

Иногда встречаются неочевидные примеры:

$x-2=\frac{2}{3}$

В этом случае не стоит отчаиваться или начинать приводить все к общему знаменателю, ведь никто не мешает в левой части уравнения дописать знаменатель, равный 1.

Обратите внимание, что в данном примере нет ограничений на х, так как в знаменателе отсутствует переменная.

Осталось рассмотреть вариант, когда справа в уравнении ноль. Как вы думаете, как мы будем решать нашим методом уравнения вида:

$\frac{x+6}{3x}=0?$

Еще один подход к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям. Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения:

сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
после этого, в левой части уравнения образовавшееся целое выражение преобразуют в многочлен стандартного вида.

В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так, в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае — к решению алгебраического уравнения степени n.

А теперь давайте разберемся, как решать дробно рациональные уравнения вида

$\frac{p(x)}{q(x)}=0$

где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. А дальше посмотрим, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

В основе одного из подходов к решению данного уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь

$\frac{u}{v}$

где v — отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с делением на нуль, которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0. В силу этого утверждения, решение уравнения сводится r выполнению двух условий p(x) = 0 и q(x)≠0.

Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения ОГЭ по математике:

$\frac{p(x)}{q(x)}=0$

Чтобы решить дробное рациональное уравнение такого вида , надо выполнить следующие действия:

решить целое рациональное уравнение p(x) = 0;
и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0, при этом:
- если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
- если не выполняется, то этот корень — посторонний, то есть не является корнем исходного уравнения.

Онлайн подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2025 с выгодой до 30%

Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам

Узнать подробнее

Разбор решения дробно рациональных уравнений в ОГЭ по математике

Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.

Пример. Найдите корни уравнения:

$\frac{3x-2}{5x^{2-x}}=0$

Решение.

Это дробно рациональное уравнение, причем вида:

$\frac{p(x)}{q(x)}=0$

где:

$p(x)=3x-2,q(x)=5x^{2}-2\not\equiv 0$

Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3x-2=0. Это линейное уравнение, корнем которого является:

$x=\frac{2}{3}$

Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5x²-2≠0. Подставляем в выражение 5x²-2 вместо x число 2/3, получаем:

$5*(\frac{2}{3}^{})^{2}-2=\frac{2}{9}\not\equiv0$

Условие выполнено, поэтому является корнем исходного уравнения.

Ответ:

$\frac{2}{3}$

К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) области переменной x исходного уравнения:

То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения:

$\frac{p(x)}{q(x)}=0$

решить уравнение p(x)=0;
найти ОДЗ переменной x;
взять корни, принадлежащие области допустимых значений, — они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.

Алгоритм решения дробного рационального уравнения из ОГЭ r(x)=s(x). Чтобы решить дробное рациональное уравнение , надо:

получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком;
выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида:

$\frac{p(x)}{q(x)}$

решить уравнение p(x)=0;
выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите дробно рациональное уравнение:

$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x}+1$

Решение.

Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения.

И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую. В результате переходим к уравнению:

$\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x}-1=0$

На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби:

$\frac{p(x)}{q(x)}$

Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение:

$\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x}-1=\frac{-2x-1}{x(x+1)}$

Так мы приходим к уравнению:

$\frac{-2x-1}{x(x+1)}$

На следующем этапе нам нужно решить уравнение -2x-1=0. Находим:

$x=-\frac{1}{2}$

Остается проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.

Начнем с проверки. Подставляем в исходное уравнение вместо переменной x число −1/2, получаем −1 = −1. Подстановка дает верное числовое равенство, поэтому, x = −1/2 является корнем исходного уравнения.

Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x = −1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Найденный на предыдущем шаге корень принадлежит ОДЗ, следовательно корнем исходного уравнения является:

$x=-\frac{1}{2}$

Ответ:

$-\frac{1}{2}$

Рациональные уравнения 9 класс ОГЭ – примеры

Задание 1

Решите уравнение:

$\frac{x+5}{7x+11}=\frac{x+5}{6x+1}$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Задание 2

Найдите корень уравнения:

$x=\frac{-4x-7}{x-12}$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Задание 3

Решите уравнение:

$\frac{1}{3x-11}=\frac{1}{4x+11}$

Задание 4

Решите уравнение:

$\frac{11}{x-2}=\frac{11}{2}$

Задание 5

Решите уравнение:

$\frac{7}{x-14}=\frac{14}{x-7}$

Ответы к заданиям:

Ответ: -5.
Ответ: 1.
Ответ: -22.
Ответ: 4.
Ответ: 21.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Что такое рациональные уравнения – ОГЭ по математике?

Рациональные уравнения — это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями.

Как решить дробно рациональное уравнение из ОГЭ?

Алгоритм решения дробного рационального уравнения r(x)=s(x): перенести правую часть выражения в левую с противоположным знаком, преобразовать левую часть в рациональную дробь, решить уравнение и исключить посторонние корни методом подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.

Все статьи