8bit > Математика ОГЭ > 7 и 8 задания ОГЭ по математике

7 и 8 задания ОГЭ по математике

Q: Что такое рациональные числа – разбор 8 задания ОГЭ?

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, есть, где m — целое, а n — натуральное. Рациональные числа могут быть представлены конечным или бесконечным десятичным периодическим дробью. Множество рациональных чисел обозначается большой латинской буквой Q.

Q: Что представляют собой иррациональные числа – ОГЭ по математике?

Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде дроби, где m — целое, а n — натуральное. Иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими дробями.

26-04-2023

Дополнительные темы

Демоверсия ОГЭ по математике 2024 года 16 задание ОГЭ по математике – окружность, круг и их элементы 15 задание ОГЭ по математике – треугольники Практико-ориентированные задачи ОГЭ по математике 14 задание ОГЭ по математике Теория вероятностей в ОГЭ по математике 9 класс 21 задание ОГЭ по математике 20 задание ОГЭ по математике 12 задание ОГЭ по математике – расчеты по формулам Функции арифметического квадратного корня — ОГЭ по математике 11 задание ОГЭ по математике 13 задание ОГЭ по математике Рациональные уравнения ОГЭ 9 задание ОГЭ по математике 7 и 8 задания ОГЭ по математике 6 задание ОГЭ по математике Демоверсия ОГЭ по математике 2023 года

Как решать задание 7 ОГЭ по математике 2024?

В первую очередь в 7 и 8 заданиях ОГЭ нужно уметь возводить числа в натуральную или целую степень. После этого выполняются простейшие арифметические вычисления и выбирается правильный ответ из предложенных вариантов.

Возведение в степень ОГЭ

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r — это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)⁵», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение в натуральную степень

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a. Таким образом, чтобы возвести число a в степень n, нужно вычислить произведение.

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Примеры, как решать задание 7 ОГЭ математика 2024 года

Пример 1.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

Решение.

По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2)⁴=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16.

Ответ: (−2)⁴=16.

Пример 2.

Найдите значение степени

$(3\frac{2}{7})^{2}$

Решение.

Данная степень равна произведению вида:

$(3\frac{2}{7}) * 3\frac{2}{7})$

Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень:

Ответ:

$10\frac{39}{49}$

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим:

Если взять

$\pi\sim 3,14159$

Возведение в степень даст:

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени — это есть само число a, то есть а¹=а

Например:

(-9)¹=-9

Возведение в целую степень – ОГЭ по математике 7 класс задание 7

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. Мы знаем, что нулевая степень числа определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом а⁰=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу.

Например:

а⁰ не определяется.

Свойства степеней – теория для 7 задания ОГЭ по математике

Теперь запишем все свойства степеней:

свойства степеней

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа а с целым отрицательным показателем -z определяется как дробь вида:

$\frac{1}{a^z}$

В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Пример.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем -2.

Решение.

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем:

$2^{-3}=\frac{1}{2^{8}}$

Значение степени в знаменателе легко находится:

$2^{3}=2*2*2=8$

Таким образом:

Ответ:

$\frac{1}{8}$

Онлайн подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2025 с выгодой до 30%

Занятия в мини-группах с экспертами ЕГЭ по всем школьным предметам

Узнать подробнее

Формулы сокращенного умножения разбор 8 задания ОГЭ по математике

Так как мы теперь все знаем о степенях, давайте поговорим о возведении выражений во вторую степень и правила раскрытия скобок.

Рассмотрим выражение:

(a+b)(a-b)

Разные преподаватели называют способ раскрытия по-разному, кто-то говорит «правило фонтанчика», еще есть вариант — «усики», мы же будем называть это «методом фейерверка». Как этот метод работает:

Возведение суммы в квадрат:

Арифметический квадратный корень

Начнем с определения квадратного корня.

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.

Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5, −0,3, 0,3, 0, и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25, 0,09, 0,09 и 0 (5²=5·5=25, (−0,3)²=(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)²=0,3·0,3=0,09 и 0²=0·0=0). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25, числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09, а 0 — это квадратный корень из нуля.

Квадратный корень извлекается только из неотрицательных чисел!

Так как у квадратного корня существует два противоположных по знаку значения, это затрудняет работу с корнями. Для обеспечения однозначности был введен арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. То есть под арифметическим корнем стоят всегда неотрицательные числа, и при его извлечении мы получаем тоже всегда только одно неотрицательное число, а не два противоположных по знаку, как для квадратного корня.

$\sqrt{25=5}$

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение:

$\sqrt{a}$

Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.

Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня — подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например:

$\sqrt{151}$

в записи число 151 — это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением.

При чтении слово «арифметический» часто опускается, например:

$\sqrt{729}$

запись читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых». Слово «арифметический» произносят лишь тогда, когда хотят особо подчеркнуть, что речь идет именно о неотрицательном квадратном корне из числа.

В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что

для любого неотрицательного числа a.

Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишено смысла выражение:

$\sqrt{-4}$

На практике часто применяются свойства квадратных корней:

Cвойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида .

$\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}}$

Корень из частного:

которое часто записывают с помощью дробей как:

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{}a}{\sqrt{b}}$

Свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем:

$\sqrt{a^{2m}}=|a^{m}|$

при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа:

$\sqrt{a^{2}}=|a|$

Как вы уже заметили, корень — это та же степень. И, зная свойства степени, можно работать с корнем. Для корня рассмотрим еще такие свойства:

$n\sqrt{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}},a\ge 0$

Сравнение чисел

Помимо заданий на извлечение корней, возведение выражений в степень, могут встретиться задания, в которых нужно расставить числа в порядке возрастания или убывания; указать наибольшее или наименьшее число, то есть сравнить.

Сравнивать можем целые числа, дробные числа, выражения, содержащие корни и степени. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Значение какого из данных выражений является наибольшим? В ответе укажите номер правильного варианта.

Сравнение чисел огэ

Решение.

Возведем каждое число в квадрат и сравним квадраты этих чисел:

Поскольку

75< 88<90<90,25

то наибольшим является выражение под номером 2.

Ответ: 2.

Пример 2.

Расстояние от Нептуна — одной из планет Солнечной системы — до Солнца равно 4450 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде?

В ответе укажите номер правильного варианта.

4,450·10⁶ км

4,450·10⁷ км

4,450·10⁸ км

4,450·10⁹ км

Решение.

Для решения задач этого типа нужно вспомнить стандартный вид числа.

Число, записанное в стандартном виде, имеет вид:

Преобразуем число к стандартному виду:

Ответ: 4.

Пример 3.

Значение, какого из выражений является числом иррациональным?

Примеры огэ математика

Для решения задач этого типа нужно вспомнить определения.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, есть, где m — целое, а n — натуральное.

Рациональные числа могут быть представлены конечным или бесконечным десятичным периодическим дробью. Множество рациональных чисел обозначается большой латинской буквой Q.

Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде дроби, где m — целое, а n — натуральное. Иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими дробями.

Решение.

1) Воспользуемся вынесением множителя из-под знака корня:

Таким образом, получили рациональное число.

2) Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

Получили рациональное число.

3) Воспользуемся свойством извлечения корня из дроби:

Примеры огэ математика

Получили рациональное число.

4) Вынесем множитель из-под знака корня:

Получили иррациональное число.

Ответ: 4.

Пример 4.

Сравните числа:

$\sqrt{67}+\sqrt{61} и 16$

В ответе укажите номер правильного варианта.

Примеры огэ математика

Решение.

Возведем каждое из чисел в квадрат. Получим:

Предположим, что квадраты данных чисел (а, значит и сами числа) равны. (Можно предположить, что первое число меньше второго или наоборот больше). Получим в результате преобразования:

Примеры огэ математика

Данное равенство неверное

$\sqrt{4087} <\sqrt{4096}$

Следовательно

$\sqrt{67}+ \sqrt{61}< \sqrt{16}$

Ответ: 1.

Прототипы заданий 7 и 8 ОГЭ математика 2024

Задание 1

Найдите значения выражения:

$-80+0,3*(-10)^{3}$

Задание 2

Найдите значение выражения:

$0,8*(-10)^{2}-95$

Задание 3

Найдите значение выражения:

$2\sqrt{31}*3\sqrt{3}*\sqrt{93}$

Задание 4

Представьте выражение

$\frac{1}{x^{5}}*\frac{1}{x^{9}}$

в виде степени с основанием x. В ответе укажите номер правильного варианта:

1)x ¹⁴

2)x ⁵⁴

3)x ^-45

4)x ^-14

Задание 5

Какое из данных чисел является иррациональным?

$1)\sqrt{0.16}$

$2)\sqrt{1.6}$

$3)\sqrt{1600}$

4)все эти числа рациональны

Ответы к заданиям:

-380.
-15.
558.
4.
2.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Что такое возведение в степень из ОГЭ?

Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.

Что такое рациональные числа – разбор 8 задания ОГЭ?

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, есть, где m — целое, а n — натуральное. Рациональные числа могут быть представлены конечным или бесконечным десятичным периодическим дробью. Множество рациональных чисел обозначается большой латинской буквой Q.

Что представляют собой иррациональные числа – ОГЭ по математике?

Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде дроби, где m — целое, а n — натуральное. Иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими дробями.

Все статьи