Курсы подготовки к ЕГЭ по математике

Программа подготовки по математике для учеников базового уровня

 Автор: Мамин Э.А.

Продолжительность курса:

19 занятий продолжительностью 120 минут (38 часов)

Нагрузка:

3 академических часа в неделю. На каждое занятие выделено 3 академических часа, эти часы могут быть распределены по темам занятия в зависимости от ситуации, усвоения учениками той или иной части материала.

Дидактические цели курса:

Освоение минимальных знаний и навыков, необходимых и достаточных для получения высокого балла за ЕГЭ (не ниже 50 по математике профильного уровня) или успешная сдача базового экзамена. Умение рационально распределить время между заданиями, независимо от формата экзамена.

Методические задачи курса:

• •Системная подача материала в чётком соответствии со спецификацией экзамена;
• •Свободное владение арифметикой как применительно к текстовым задачам, так и к действиям с натуральными, целыми, рациональными числами. Понятие числовой прямой, числа на прямой;
• •Развитие в учащемся навыков чтения алгебраической записи математического выражения. Понимание  алгебраических символов, встречающихся в задачах ЕГЭ, работата с буквенными выражениями;
• •Знание свойств степени, корня, логарифма и умение их применить для преобразования числовых и буквенных выражений. Упрощение алгебраических выражений. Тождественность выражений. Преобразования тригонометрических тождеств. Умение анализировать рациональность или нужность того или иного тождественного преобразования применительно к разным задачам;
• •Умение решать линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения в простейшем виде. Выполнять, где нужно, проверку решения уравнения. Понятие равносильности уравнений и действий над уравнениями, ее сохраняющие;
• •Понятие решения неравенства. Запись ответа в виде промежутка и в виде интервалов, их равнозначность. Методы решения линейных, квадратичных, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических неравенств;
• •Владение понятием  функции, области определения функции, умение приводить примеры функций. Умение соотносить точку на графике функции с парой «значение аргумента – значение функции», умение получать информацию из графика функции, строить график заданной функции, находить производную простейших функций, оценивать знак производной в точке по графику функции;
• •Знание свойств плоскости и пространства, необходимых для решения задач планиметрии и стереометрии. Твердое знание методов решения простейших опорных задач;
• •Знание теории вероятности  применительно к простейшим ее задачам – вычисления вероятности события, нахождения среднего в распространенных ситуациях. Умение привлекать повседневный опыт к пониманию решения опорных задач по теории вероятности;
• •Умение провести самостоятельно проверить правильности решения в тех случаях, где это возможно;
• •Умение проанализировать и оценить свой ответ и свое решение на наличие логически неверных шагов, проанализировать его с точки зрения математической логики, здравого смысла, повседневного опыта;
• •Прояснение учащимся методики работы сКИМ, выработка умения правильно читать текст задания, понимать вопросы;
• •Заполнение бланков с соблюдением требований.

Ориентировочная структура занятия:

Примерный тематический план занятий:

1 занятие.

На первом занятии ученики знакомятся с понятием натурального и целого числа. Дается представление об исторической  и практической роли счета – сложения, умножения и вычитания целых чисел. Приводятся примеры сложения и умножения положительных чисел, сложения и умножения в столбик. Их внимание обращается на правильную работу с разрядами чисел: сложение в столбик иллюстрируется на примере сложения рублей и копеек. Переход к сложению и умножению чисел, содержащих нули в последних разрядах. Рассмотрение переместительного (коммутативного) закона сложения и ассоциативности сложения на примере двух последовательных платежей (на примере счета мобильного телефона). На примере понятия долга дается понятие об отрицательном числе. Рассмотрение закона сложения на примере, когда один или два числа отрицательны (зарплата и налог; зарплата, налог и премия; зарплата, налог и штраф). Обращение особого внимания на раскрытие скобки, перед которой стоит минус и в которой есть отрицательное число (доход предприятия – (расход – субсидия) = баланс = доход – расход + субсидия). Особое внимание уделяется знаку перед числом, его неотделимость от абсолютного значения, на примере ячейки в бухгалтерской таблице. Даются примеры отрицательных чисел – отрицательная температура, отрицательное значение координаты - ниже уровня моря и др. Рассматриваются разнообразные задачи для самостоятельного решения.  Демонстрируются примеры, где использование свойств сложения и умножения (коммутативного и ассоциативного) упрощает счет, примеры, где возможен устный счет при их помощи.

Вводятся понятия обыкновенной дроби на примерах деления отрезка, деления воды в сосуде, доли массы вещества в целом предмете, доли количества определенной группы людей в целом (пехоты в армии, учеников школы в населении страны), доли количества рублей в сумме, монет малого достоинства в монетах бо́льшего достоинства. Изучается сложение дробей с одним и тем же знаменателем, вычитание дробей с одним и тем же знаменателем. Рассматривается проблема сложения дробей с разными знаменателями на примере половины пирога и его четверти. Обсуждается понятие смешанного числа и приведения его к неправильной дроби и наоборот, сложение и вычитание смешанных чисел. Особо рассмотреть пример, когда числитель уменьшаемого после приведения меньше числителя вычитаемого. Показать примеры, где использование свойств сложения и умножения (коммутативного и ассоциативного)  упрощает счет с дробями, примеры, где возможен устный счет с использованием этих свойств.

2 занятие.

Десятичная дробь.  Разряды десятичной дроби, примеры с десятичной и сотой частью числа, примеры (рубль, копейки).  Приведение десятичной дроби к обыкновенной и наоборот. Деление рациональных чисел, деление уголком. Понятие процента.  Сведение умножения на дробь к нахождению доли от числа, перевод доли в проценты и наоборот. Примеры использования долей и процентов.

3 занятие.

Буквенные выражения.  Тождества. Операции, которые можно проводить с тождествами. Натуральная степень. Многочлены. Квадратные уравнения. Формулы сокращенного умножения. Примеры, где использование формул сокращенного умножения упрощает счет, примеры, где возможен устный счет таким способом. Формулы сокращенного умножения – на примере буквенных выражений.

4 занятие.

Линейные уравнения. Операции с уравнениями. Умножение на ненулевое число. Линейная функция. График линейной функции на примере функции координаты от времени, функции заполнения объема бассейна от времени. Более общее понятие функции. Пример функции значения курса доллара от времени, количества населения от времени, количества концентрации медуз в зависимости от глубины моря, плотности населения в зависимости от широты на Земле, функция средней температуры от времени, количества осадков от времени. Разбор примеров (в том числе вопросы с диаграммами из ЕГЭ).

5 занятие.

Квадратичная функция. Примеры – полет тела в поле тяжести (готовое уравнение для траектории), струя воды в фонтане, зависимость координаты от времени при равноускоренном и равнозамедленном движении.

6 занятие.

Тождества, где присутствует деление буквенных выражений. Рациональные уравнения. Текстовые задачи, требующие умения решать рациональные уравнения.

7 занятие.

Понятие неравенства. Операции с линейными неравенствами. Запись ответа на неравенство. Квадратный трехчлен. График квадратичной функции. Решение квадратичных неравенств методом параболы и методом интервалов. Рациональные неравенства, простейшие случаи, сводящиеся к методу интервалов. Задачи.

8 занятие.

Понятие корня из целого, рационального числа. Свойства корня на примерах. Запись корня в виде степени. Степенная функция. Решение уравнений графическим способом. Иррациональные уравнения. Задачи.

9 занятие.

Показательная функция. Понятие логарифма. Где применяется логарифм  (высота нот, запись частоты ноты от ступени, сейсмическая шкала, индекс кислотности pH, логарифмическая шкала, логарифмическая линейка (показать, если есть возможность)). Свойства логарифма. Задачи.

10 занятие.

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, обратить внимание на область определения логарифма. Задачи.

11 занятие.

Логарифмические уравнения, неравенства. Модуль числа, график функции, решение простейших уравнений, содержащих модуль. Производная функции. Смысл (геометрический и физический) и значение. Оценка производной функции по графику, сравнение значения производной в разных точках графика. Задачи.

12 занятие.

Планиметрия. Примеры основных плоских фигур. Краткий обзор задач геометрии в истории: определение расстояний, углов и площадей. Свойства плоскости (аксиомы), вертикальные и смежные углы. Треугольник, признаки равенства треугольников, доказательства. Применение равенства треугольников для нахождения расстояния, которое не может быть найдено непосредственно. Симметрия, симметричные фигуры. Равнобедренный треугольник. Задачи.

13 занятие. 

Углы, образуемыми двумя прямыми и секущей.
Примеры параллельности на плоскости. Аксиома параллельности. Признаки параллельности. Задачи.

14 занятие.

Параллелограмм, ромб, трапеция. Свойства. Задачи.

15 занятие.

Площадь, подобие треугольников. Применение признаков подобия треугольников в астрономии, измерении длин. Задачи.

16 занятие.

Окружность. Определения радианной меры угла и градусной меры. Окружность и  секущая окружности, касательная к окружности. Окружность и треугольник. Задачи.

17 занятие.

Тригонометрия. Определения синуса и косинуса на тригонометрическом круге. Привитие математической грамотности. Нахождение знака синуса и косинуса числа в радианах на окружности и угла в градусах. Перевод градусов в радианы и обратно. Основное тригонометрическое тождество. Решение простейших уравнений. Тождества. Понятие тангенса и котангенса.

18 занятие.

Графики тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений. Задачи.

19 занятие.

 Стереометрия, аксиомы, простейшие фигуры. Теоремы стереометрии, задачи.

20 занятие.

Сечение фигуры. Объем. Применение формул. Задачи. Векторы на плоскости и в пространстве. Векторы, используемые в физике (радиус-вектор, перемещение, скорость и движение точки и фигуры). Скалярное произведение векторов. Координатная запись вектора. Уравнение сферы, расстояние между двумя точками с данными координатами. Задачи.

Программа подготовки по математике для учеников высокого уровня

Автор: Мамин Э.А.

Продолжительность курса:

19 занятий продолжительностью 120 минут (38 часов)

Нагрузка:

3 академических часа в неделю. На каждое занятие выделено 3 академических часа, эти часы могут быть распределены по темам занятия в зависимости от ситуации, усвоения учениками той или иной части материала.

Дидактические цели курса:

Освоение минимальных знаний и навыков, необходимых и достаточных для получения балла за ЕГЭ (не ниже 80 по математике профильного уровня), успешные выступления на вузовских олимпиадах Умение рационально распределить время между заданиями, независимо от формата экзамена.

Методические задачи курса:

• •Системная подача материала по математике в соответствии со школьной программой и материалом, необходимым для решения задач повышенной сложности, встречающихся в олимпиадах;
• •Свободное владение методами решения задач всех разделов школьной математики, владение стандартными схемами решения задач. Умение решать одну и ту же задачу несколькими разными способами, с выбором наиболее оптимального.
• •Владение арифметикой, а также методами сравнения действительных чисел, подходами, позволяющими проводить сравнение наименее затратным путем. Знание таблицы квадратов наизусть. 
• •Развитие в учащемся навыка чтения алгебраической записи математического выражения. Понимание  алгебраических символов, работа с буквенными выражениями;
• •Знание свойств степени, корня, логарифма и умение их применить для преобразования числовых и буквенных выражений. Упрощение алгебраических выражений. Тождественность выражений. Умение анализировать рациональность или нужность того или иного тождественного преобразования применительно к разным задачам. Тригонометрические тождества. Умение записывать буквенное выражение способом, оптимальным для решения задачи, умение проводить преобразование с учетом области определения функций содержащихся в задаче.
• •Умение решать линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения. Уравнения с модулем. Уравнения, содержащие параметр. Понятие равносильности уравнений и действий над уравнениями, ее сохраняющие.
• •Умение решать линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические неравенства. Неравенства с модулем. Неравенства, содержащие параметр. Понятие равносильности неравенств и действий над неравенствами, ее сохраняющие.
• •Понятие функции, графика функции, способы исследования функций. Умение построить эскиз функции по ее производной;
• •Знание свойств плоскости и пространства, необходимых для решения задач планиметрии и стереометрии. Умение доказывать теоремы, леммы и свойства из школьного курса геометрии, достаточные для успешных выступлений на вузовских олимпиадах, владение аксиоматикой геометрии, умение выводить новые утверждения из уже доказанных. Умение доказывать от противного, умение опровергать ложные утверждения контрпримерами. Умение рассмотреть разные возможности ориентирования геометрических объектов.
• •Знание теории вероятности  применительно к  задачам повышенной сложности. Понятие перестановки, сочетания, размещения. Владение методом математической индукции для доказательства свойств и решения задач из теории вероятности, комбинаторики, алгебры.
• •Умение самостоятельно проконтролировать правильность решения в тех случаях, когда это возможно, оценить правомерность собственных выкладок, логических переходов.
• •Умение проанализировать и оценить свой ответ и свое решение на наличие логически неверных шагов, проанализировать его с точки зрения математической логики, здравого смысла, повседневного опыта.
• •Прояснение учащимся методики работы сКИМ, выработка умения правильно читать текст задания, понимать вопросы.
• •Заполнение бланков с соблюдением требований;

Ориентировочная структура занятия:

Примерный тематический план занятий:

Занятие 1.

На первом занятии ученики отрабатывают навыки работы с теорий числа в объеме школьного курса, решают задачи, встречающие во второй части ЕГЭ, и олимпиадах. Учатся переводить бесконечную периодичную дробь в десятичную. Изучают основную теорему алгебры, бином Ньютона, треугольник Паскаля. Решают задачи, требующие знания понятий сочетания, размещения, перестановки.прогрессии, метод математической индукции, его применение в решении задач, доказательстве свойств, деление уголком многочлена на многочлен, теорему Безу, иррациональные выражения, избавление от иррациональности в знаменателе. Рассматривают упрощение алгебраических выражений, рациональных и иррациональных. Решают задачи на доказательства тождеств и неравенство Коши.

Занятие 2.

Решение нестандартных алгебраических уравнений. Выделение полного квадрата. Графические методы. Контроль за стилем ведения записей, в особенности в задачах, требующих объемных выкладок. Совокупность и система уравнений и неравенств. Модуль числа, график функции, решение простейших уравнений, содержащих модуль.

Занятие 3.

Последовательности. Понятие предела функции, производной. Исследование функций на монотонность, построение графиков функций. Задачи на оптимизацию, на поиск минимума-максимума. Решение иррациональных уравнений, равносильные переходы. Нестандартные уравнения, использование свойств монотонности функций входящих в уравнения. Графические методы.

Занятие 4.

Показательная функция. Понятие логарифма. Свойства логарифма. Задачи. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения. Задачи. Сравнение действительных чисел, в том числе, сравнение логарифма и степени. Метод разделения выражений для их сравнения. Графические методы сравнения. Равносильные переходы для решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Комбинированные неравенства. Неравенства, где в ответе есть изолированное решение.

Занятие 5.

Планиметрия. Аксиоматика. Упор на умение самостоятельно доказывать теоремы и свойства. Доказательство от противного. Опровержение контрпримерами. Теоремы школьного курса. Разные способы расчета площадей. Различные способы ориентации точек и фигур при наложении условий задачи, анализ возможностей существования разных чертежей для одной задачи. Общая культура построения чертежа.

Занятие 6.

Тригонометрия. Определения синуса и косинуса на тригонометрическом круге. Вывод тригонометрических тождеств. Решение уравнений, отбор корней, принадлежащих заданной области. Графики тригонометрических функций.

Занятие 7.

Сечение фигуры. Объем. Применение формул. Задачи. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов. Координатная запись вектора. Уравнение сферы, расстояние между двумя точками с данными координатами. Задачи. Векторные методы решения задач планиметрии и стереометрии. Пояснение доказательства с помощью цветных карандашей. Нормаль к плоскости, уравнение плоскости, прямой. Решение задач.

Занятия 8-21.

Решение задач. Материал распределяется по времени с учетом усвоения учениками.